Algèbre relationnelle
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Au sujet de l'algèbre relationnelle

L'algèbre relationnelle est un concept mathématique de relation de la théorie des ensembles.

L'algèbre relationnelle a été inventée en 1970 par Edgar Frank Codd, le directeur de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le...) du centre IBM (International Business Machines Corporation (IBM) est une société multinationale américaine présente dans les domaines du matériel informatique, du logiciel et des services informatiques.) de San José. Elle est constituée d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) d'opérations formelles sur les relations. Les opérations relationnelles permettent de créer une nouvelle relation (table) à partir d'opérations élémentaires sur d'autres tables (par exemple l'union, l'intersection, ou encore la différence).

Les principes de l'algèbre relationnelle (L'algèbre relationnelle est un concept mathématique de relation de la théorie des ensembles.) sont beaucoup utilisés de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...) par les SGDB pour la gestion des bases de données informatiques comme le SQL, DBase, etc.

Eléments du modèle relationnel (Le modèle relationnel est une manière de modéliser les informations contenues dans une base de données qui repose sur des principes mathématiques...)

Objets précis du modèle

Il s'agit ici de déterminer des Domaines (i.e., type atomique) :

  • Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.).
  • Chaîne de caractères (En informatique, une chaîne de caractères est une suite ordonnée de caractères. La chaîne de caractères est un type de donnée dans de nombreux langages...) (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.).
  • Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.).
  • Type énuméré.

Relation ou Table

Une relation (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) du modèle de Codd) est constituée de deux choses :

  1. Un Schéma : Le format de la table. Le schéma est fixé.
  2. Une Extension : Le contenu de la table, qui est un ensemble de n-uplets dont l'ordre n'a pas d'importance.

Exemple :

Schéma :

 
 {Cle: INT, Nom: VarChar(20), Email: VarChar(20)} 
 

Extension :

 
 { 
 {Cle: 1, Nom: "Edgar", Email: "edgar@xxxxx.xx"} 
 {Cle: 2, Nom: "Frank", Email: "Frank@xxxxx.xx"} 
 ... 
 } 
 

Requêtes en Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) relationnelle

Définir un ensemble d'opérations élémentaires permettant, par combinaison (Une combinaison peut être :) éventuelle, d'obtenir les résultats escomptés.

La sélection (ou restriction) :

  • Notation : R:F\,
  • Données : Une relation R\, et une formule F\, formée d'une combinaison de comparaisons et de connecteurs logiques.
  • Résultat : R:F = \{ r \in R : r\, satisfait la condition donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par F \}\,
  • Équivalent SQL : WHERE

La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) :

  • Notation : R[A]\,
  • Données : Une relation R\, et ensemble d'attributs A\, de R\,.
  • Résultat : R[A]\,, qui est la Relation R\, où on ne considère que les attributs de A\,
  • Équivalent SQL : SELECT

Opérateurs ensemblistes

L'algèbre relationnelle possède les opérations usuelles sur les ensembles.

Soient R(A)\, et S(B)\, deux relations ayant pour ensembles d'attributs respectifs A\, et B\,:

  • Union : R \cup S=\{t: t \in R \ ou \ t \in S\}\,
  • Intersection : R \cap S=\{t: t \in R \ et \ t \in S\}\,
  • Différence : R-S=\{t: t \in R \ et \ t \not\in S\}\,
  • Produit cartésien : R \times S=\{(r,s) : r \in R \ et \ s \in S \}\,
  • Jointure : R \star S=\{(a,b,c):(a,b)\in R \ et \ (b,c) \in S \}\,
  • Division : elle prend en entrée deux relations R(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_p)\, et S(y_1,...,y_p)\,.
Ainsi, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second...) r \in R \, se décompose en deux n-uplets r=(t,s)\,,
avec t=(t_1, ..., t_m)\, de schéma X=\{x_1, ..., x_m\}\, et
s=(s_1, ..., s_p)\, de schéma y=\{y_1, ..., y_p\}\,.
et retourne la table de schéma X\, tel que R/S=\{t: \forall s \in S, \ (t,s) \in R\}\,
La division revient à donner “tous les x tels que pour tout y ...”

Exemples

  • Relations de la base exemple :

Table Touristes:

 
 idTouriste  NomT    Ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les habitations doivent être à moins de 200 m...)       Sport 
 ---------- ------- ---------  --------- 
 1          Marc    Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les...)      Ski 
 2          Jean    Toulouse   Tennis 
 3          Franc   Marseille  Football 
 4          Thomas  Lyon       Voile 
 5          Max     Paris      Golf 
 

Table Sports:

 
 Sport 
 --------- 
 Ski 
 Cyclisme 
 Tennis 
 Football 
 Voile 
 Golf 
 

Table Destinations:

 
 idTouriste  VilleD 
 ---------- -------- 
 1          Cannes 
 2          Ibiza (Ibiza (nom officiel en catalan : « Eivissa ») est une île espagnole de l'archipel des Baléares, en mer Méditerranée.) 
 4          Tokyo 
 
  • Sélection :
 
 > Touristes:(Ville = "Paris") 
 idTouriste  NomT    Ville       Sport 
 ---------- ------- ---------  --------- 
 1          Marc    Paris      Ski 
 5          Max     Paris      Golf 
 
  • Projection :
 
 > Touristes[NomT, Ville] 
 NomT    Ville 
 ------- --------- 
 Marc    Paris 
 Jean    Toulouse 
 Franc   Marseille 
 Thomas  Lyon 
 Max     Paris 
 
  • Jointure :
 
 > Touristes\star\,Destinations 
 idTouriste  NomT    Ville       Sport    VilleD 
 ---------- ------- ---------  --------- -------- 
 1          Marc    Paris      Ski        Cannes 
 2          Jean    Toulouse   Tennis     Ibiza 
 4          Thomas  Lyon       Voile      Tokyo 
 
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