Abaque (calcul) - Définition

Introduction

abaque boulier : les unités sont placées en haut de la tige inférieure, les multiples de cinq en bas de la tige supérieure, le nombre se lit donc au milieu du boulier ; chaque colonne peut représenter les nombres de 0 à 15 pour le report des retenues par multiples de 5.

Un abaque (de abacus en latin et de abax ἄβαξ en grec signifiant « table à poussière ») est le nom donné à tout instrument mécanique plan facilitant le calcul.

Liste d'abaques

Dans la famille des abaques on peut classer

• l’abaque sur lequel on dessine : l’abaque grec
• l’abaque-compteur utilisant des galets ou des jetons : abaque égyptien ou romain
• l’abaque avec des boules coulissant sur des tiges : la grande famille des bouliers
• l’abaque formée d’un plateau et de réglettes mobiles, connue sous le nom de bâtons de Napier
• l’abaque avec graduation et correspondance. Il est constitué d’un réseau de courbes correspondant chacune à un paramètre et permettant de trouver une valeur numérique sans calcul explicite mais graphiquement. Par exemple:
  • la règle à calcul
  • les abaques professionnels : Ce sont des graphiques à lecture directe facilitant les calculs numériques. - Graphiques servant à déterminer spontanément des résultats obtenus par des calculs dans un système de lignes prédéfinies et préparées d’avance. Le nom actuel serait nomogramme au sens étymologique du mot (de nomos : loi, division). Constitué sur la base de graphiques à échelles diverses établis par le tracé de nombre de droites, souvent parallèles, rarement concourantes. Les abaques s’exploitent par une lecture directe, sans avoir à effectuer de tracés complémentaires soit en lisant directement les données se situant à l’intersection des droites correspondante par la lecture du point concourant en relation avec les besoins de l’intervenant.
    • abaque de Smith en électronique
    • abaque de Black dans le plan de Nichols en automatique
    • abaque des marées au service hydrologique et océanographique de la marine
    • abaque de dépouillement, de Hull et Davay en cristallographie
    • abaque de lecture en microbiologie pour la constitution d’antibiogrammes
    • abaque de magnitude en sismologie
    • abaque de conversion franc/euros, Celsius/Fahrenheit
    • Nomogramme de Henssge en médecine légale pour la datation des cadavres

Galerie

Margarita Philosophica, gravure de l'édition de 1508	Abaque en bois, probablement à Strasbourg	"Rechnung auff der Linihen und Federn...", 1525
Les pages de titre des deux arithmétiques allemandes éditées la même année (1514) :celle de Köbel (à gauche), et celle de Böschenteyn	Page de titre du deuxième livre d'Adam Riese	Illustration de « The ground of artes » (1545) du mathématicien anglais Robert Recorde (1510-1558)
Peter Apian 1544	Livre de calcul, 2. Dépenses (1522)	Exemple de pièce en métal d'abaque

Aperçu sur l’histoire des abaques

Dans l’histoire de la numération, l’écriture des nombres ne facilitait pas, en général, les calculs. Les géomètres et les comptables ont donc eu besoin d’instruments les aidant à calculer.

Cailloux

Le moyen le plus simple consiste à utiliser des cailloux disposés sur le sol. En Abyssinie (ancien nom de l’Éthiopie) par exemple, il était d’usage pour les guerriers partant au combat de déposer un caillou sur un tas, caillou qu’il retirait en revenant du combat. Le nombre de cailloux non retirés permettait de déterminer le nombre de morts au combat. Ce moyen extrêmement simple possèdait cependant ses limites. Il fallut compléter le dispositif.

Mais fort longtemps encore, l’unité de calcul fut le caillou ou le galet, calculus en latin (même lorsqu’on lui substituait des batonnets plus aisés à dessiner, ce qui conduira plus tard à l’invention des chiffres écrits). Ce terme latin est d’ailleurs à l’origine du mot calcul (encore utilisé dans son sens originel en médecine).

On voit donc se développer successivement ou simultanémant plusieurs tables ou abaques:

« Cet instrument était utilisé par des peuples très largement séparés comme les Étrusques, les Grecs, les égyptiens, les Indiens, les chinois et les mexicains et l'on peut penser qu'il a été inventé indépendamment dans différents endroits. »

Il apparaît difficile d'en déclarer une seule et unique civilisation comme l'ayant inventé de manière absolue.

Abaque grec

Le mot abaque, chez les grecs : abaks, akos (tablettes servant à calculer, devient : abacus chez les romains. Il était constitué d’une table recouverte de sable sur laquelle on dessine à l’aide d’un stylet, les calculs pouvant être effacés au fur et à mesure en lissant avec la main.

De cet abaque originel à bâtons, naitront les chiffres phéniciens, puis d’un côté les chiffres grecs et romains nés de l’adaptation à leur alphabet respectif des abaques améliorés par les phéniciens, et de l’autre côté les chiffres sémitiques assyriens puis indiens (qui noteront le zéro par un point), puis arabo-indiens (où le zéro devient un rond) et tardivement les chiffres arabo-européens modernes. Il était constitué d’une table recouverte de sable sur laquelle on dessine à l’aide d’un stylet, les calculs pouvant être effacés au fur et à mesure en lissant avec la main.

L’abaque gréco-phénicien est finalement assez semblable avec les systèmes de comptage à bâtons utilisés depuis toujours par ceux qui ne savent pas compter, ou souhaitent mesurer le temps à l’aide de bâtons qu’on n’efface pas, mais qu’on peut rayer, souligner, entourer… Ce système originel universellement connu est encore utilisé couramment aujourd’hui pour compter les points dans un jeu, car il est plus rapide et plus efficace que de rayer et réécrire tous les chiffres.

Abaque chinois

Les chinois et les japonais font avec l'abaque non seulement des opérations simples, mais même les extractions des racines carrées. L'inconvénient du procédé est que la vérification est impossible

Abaque indien

Abaque mexicain

Abaque romain

reconstitution d’un abaque romain

Il s’agit d’une table, partagée en plusieurs colonnes, chaque colonne représente une puissance de 10. On dispose d’autre part de galets que l’on dépose dans les colonnes de son choix. Les Romains ne possédaient pas une écriture en numération décimale. Cependant, leur pratique de l’abaque montre qu’ils en possédaient le principe. Par la suite, l’abaque s’est enrichi de cases situées au-dessus de chaque colonne et représentant 5 unités de la puissance de 10 associée.

Le principe de l’addition et de la soustraction est simple à comprendre. Le transfert des retenues s’effectue en remplaçant 10 galets d’une colonne par un galet de la colonne suivante (et réciproquement).

La multiplication était un peu plus compliquée. On pouvait au choix, additionner autant de fois qu’il le fallait le nombre de départ, ou bien utiliser la pratique de la duplication avec la méthode de multiplication égyptienne.

Abaque romain portable

Jusqu’au I^er siècle, l’abaque était donc un meuble difficilement transportable. L’idée est alors venue de construire une plaquette métallique, de remplacer les colonnes par des rainures parallèles et de faire glisser dans ces rainures des boutons de même taille. On se rapproche alors du boulier.

Gerbert d’Aurillac et la querelle abaciste contre algoriste

Lorsqu’au X^e siècle, Gerbert d’Aurillac rapporte de son séjour de trois ans en Espagne au milieu des musulmans, le système arithmétique positionnel, on pourrait croire que l’usage des abaques va tomber en désuétude. Mais il n’en est rien. Pourquoi vouloir changer un système qui marche (alors même qu’un pape, puisque Gerbert d’Aurillac est aussi le pape Sylvestre II, cherche à l’imposer) ? En fait les comptables, conscients de posséder un savoir monnayable parce qu’hermétique, ne pouvaient voir d’un bon œil une avancée mettant le calcul à la portée d’un plus grand nombre. G. Beaujouan souligne que l'abaque ne se trouve dans aucun texte arabe et qu'il s'agit donc bien d'une invention de Gerbert.

Lors des croisades (XI^e - XIII^e siècle), l’Occident se familiarise bon gré mal gré avec le calcul algorithmique. Les clercs revenus des croisades avec le système d’écriture décimale furent les éléments moteurs de son installation en France. Le système de calcul par l’abaque perdurera néanmoins jusqu’à la révolution française opposant ainsi les abacistes, favorables au calcul avec abaque, et les algoristes, développant les calculs algorithmiques décrits par les arabes. On peut à ce sujet évoquer le titre anglais de Chancelier de l’Échiquier pour le ministre des finances en Angleterre, échiquier signifiant abaque, le calcul des impôts se faisant encore jusqu’au XVIII^e siècle à l’aide d’un abaque. Il est probable que la mise en place du système métrique va rendre l’abaque moins nécessaire.

De la révolution française à nos jours

Soroban japonais

La numération décimale se répand pour tous les calculs mais montre ses limites et ses faiblesses pour les calculs un peu complexes. Il faut maintenant faire mieux. Pour effectuer plus simplement des produits, des quotients, calculer des sinus et des cosinus, on invente des tables numériques, puis des règles à calcul. Dans le milieu professionnel, les abaques ou tables de correspondances se multiplient. Mais le calcul à la main reste fastidieux. On cherche à l’automatiser. On rentre alors dans le calcul automatique que l’on date en général de l’invention de la Pascaline (Blaise Pascal, 1646).

Si les machines et ordinateurs ne sont pas des tables et ne peuvent donc pas être classés dans les abaques, ils ne se font pas faute d’en utiliser tant dans leurs programmes (tableurs) que dans leurs microprocesseurs : le bug de la division du Pentium était dû à une table de calcul en virgule flottante incorrectement remplie. Les calculatrices de poche disposent le plus souvent elles aussi de tables permettant à leur utilisateur de conserver plusieurs résultats intermédiaires.