Coquaternion - Définition

Introduction

En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton découverts en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents.

L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont

.

Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré.

Un coquaternion

possède un conjugué

et un module multiplicatif :

.

Lorsque le module est différent de zéro, alors q possède un inverse multiplicatif.

est l'ensemble des unités. L'ensemble P de tous les coquaternions forme un anneau avec le groupe des unités .

Soit

où u et v sont des nombres complexes ordinaires. Alors la matrice complexe

,

où et (conjugués complexes de u et v), représentent q dans l'anneau des matrices dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que la multiplication matricielle. Par exemple, le déterminant de cette matrice ; l'apparition de ce signe moins où se trouve un plus dans conduit au nom alternatif quaternion fendu pour un coquaternion. Historiquement, les coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices de Cayley; les coquaternions (dans le prolongement des quaternions et des tessarines) évoquent une algèbre linéaire plus large.

Profil

Soit

(ici est aussi fondamental que l'azimuth)

caténoïde

hyperboloïde à deux nappes

Maintenant, il est facile de vérifier que

et que

.

Ces égalités d'ensembles signifient que lorsque alors le plan

est un sous-anneau de P, c’est-à-dire isomorphe au plan des nombres complexes fendus lorsque v est dans I alors

est un sous-anneau planaire de P qui est isomorphe au plan complexe ordinaire C.

Pour chaque , c’est-à-dire que et sont nilpotents. Le plan est un sous-anneau de P qui est isomorphe aux nombres duaux. Puisque chaque coquaternion doit relié dans , un , ou un plan N, ces plans profilent P. Par exemple, la sphère unité

est formée des "cercles unités" dans les plans constitués de P. Dans , c'est une hyperbole, dans N le cercle unité est une paire de droites parallèles, tandis que dans , c'est vraiment un cercle (bien qu'elle apparaisse elliptique en raison de la compression par v).

Géométrie de la contre-sphère

Prenons où . Fixons theta ( ) et supposons

.

Puisque les points sur la contre-sphère doivent se trouver sur un contre-cercle dans un certain plan , m peut être écrit, pour un certain

.

Soit l'angle entre les hyperboles de r jusqu'à p et m. Cet angle peut être vu, dans le plan tangent à la contre-sphère à r, par projection :

.

Comme b peut devenir grand, tanh b est proche de un. Alors . Cette aspect de l'angle de parallélisme dans un méridien tend à faire voir la variété de la contre-sphère comme un espace métrique où HP est le plan hyperbolique.

Orthogonalité plane

Lorsque le coquaternion , alors la partie réelle de q est w.
Définition : pour les coquaternions différents de zéro q et t, nous écrivons lorsque la partie réelle du produit est zéro.

• Pour chaque , si , alors signifie que les demi-droites de 0 à q et t sont perpendiculaires.
• Pour chaque , si , alors signifie que ces deux points sont orthogonaux hyperboliques.
• Pour chaque et chaque , et satisfont .
• Si u est une unité dans l'anneau des coquaternions, alors implique .

Preuve : découle de , un fait basé sur l'anti-commutativité des vecteurs.