Courbure spatiale - Définition

Introduction

En cosmologie, la courbure spatiale représente la courbure des sections spatiales de l'Univers dans un modèle homogène et isotrope de type Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Intuitivement, elle donne une échelle de longueur qui délimite les distances en deça desquelles l'univers peut localement être décrit à l'aide d'une métrique euclidienne, c'est-à-dire que les résultats de géométrie dans l'espace usuelle (comme le théorème de Pythagore) restent valables. Dans un tel modèle cosmologique, la courbure spatiale est le seul paramètre géométrique local qui caractérise la structure de l'espace. Comme de coutume en géométrie, la courbure spatiale correspond (au signe éventuel près) à l'inverse du carré du rayon de courbure des hypersurfaces de densité constantes existant dans ces modèles.

Trois cas possibles

Les trois courbures spatiales possibles.

Trois cas sont possibles, selon le signe de la courbure :

• Une courbure spatiale nulle décrit un univers plat. Elle correspond à des sections spatiales décrites par la géométrie euclidienne. En particulier le théorème de Pythagore y est valable, et la somme des angles d'un triangle est égale à 180 °.
• Une courbure spatiale positive caractérise un univers fermé. Elle correspond à l'analogue tridimensionnel de la géométrie sphérique. Le théorème de Pythagore n'est plus valable, et la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180 °. Corollaire, la taille angulaire d'un objet de taille donnée décroît moins vite avec la distance que dans le cas précédent (et augmente même avec la distance pour un objet situé plus proche du point antipodal que de l'observateur). On peut aisément visualiser un espace à deux dimensions de courbure positive constante : il s'agit de la sphère. Son analogue tridimensionnel est en revanche plus difficile à visualiser.
• Une courbure spatiale négative caractérise un univers ouvert. Elle correspond à une géométrie hyperbolique. Le théorème de Pythagore n'est pas valable non plus, et la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180 °. En conséquence, la taille angulaire des objets décroît plus vite avec la distance que dans les cas précédents. Sur des échelles plus grandes que le rayon de courbure, elle décroît même exponentiellement et non linéairement avec la distance. Un exemple simple en deux dimensions est donné par l'hyperboloïde à une nappe (visuellement c'est une selle de cheval quand il est plongé dans l'espace à trois dimensions). Encore une fois il n'est pas facile de visualiser simplement un espace tridimensionnel hyperbolique.

Courbure et devenir de l'expansion de l'univers

Il est parfois dit que le signe de la courbure spatiale détermine le devenir de l'expansion de l'univers, celui-ci connaissant une expansion éternelle si la courbure est négative ou nulle, ou un arrêt de cette expansion suivi d'un Big Crunch quand la courbure est positive. Cette assertion est erronée car elle dépend du contenu matériel de l'univers. Si toutes les formes de matière de l'univers sont de pression nulle ou négligeable, alors l'assertion précédente est exacte. Dans le cas où on a de la matière ordinaire et une constante cosmologique la situation devient très différente. En particulier un univers à courbure positive et constante cosmologique positive peut soit être issu d'un Big Bang et finir par se recontracter (quand la constante cosmologique est faible), soit avoir le même passé, mais une expansion éternelle si la constante cosmologique est suffisamment grande, soit être statique (c'est l'univers d'Einstein), soit avoir connu par le passé une phase de contraction, suivie d'une phase de rebond et d'une expansion éternelle (un des cas possibles de l'univers de Sitter).