Équation eikonale - Définition
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Propriété des rayons lumineux
Principe de Fermat (1650)
À partir de l'équation de l'eikonale, il est facile de montrer que le chemin optique L entre deux points A et B fixés est minimal dans le cas où il n'existe qu'une seule onde de l'optique géométrique en tout point (et donc un seul rayon associé...). Dans le cas plus général où les rayons des diverses ondes peuvent se croiser, L est seulement stationnaire (ceci se prouverait en utilisant les équations de Lagrange). Un disciple d'Euclide avait déjà deviné ce principe, dans un cas très particulier : celui d'une réflexion sur un miroir plan...
Conséquences immédiates
- Propagation rectiligne de la lumière : dans les cas simples, avec des dioptres ou miroirs séparés par de milieux homogènes, les rayons seront donc constitués de lignes brisées en des points situés sur ces dioptres (ou miroirs), ce qui fait que la stationnarité de L ne sera recherchée que sur cette classe restreinte de courbes ; on peut alors trouver des cas où, pour le rayon, L est maximum sur cette classe, ou stationnaire seulement, ou minimum – mais sur l'ensemble de toutes les courbes allant de A à B fixés, L ne peut jamais être maximum (absolu) pour les rayons.
- Loi du retour inverse... mais l'exemple de la réflexion partielle montre bien que le principe de Fermat ne fait qu'indiquer quels sont les divers trajets possibles pour la lumière, sans préciser comment le flux lumineux se répartit entre eux !
Lois de Snell-Descartes (Harriot, 1598)
La démonstration (par la recherche de l'extremum de L = n1AI + n2IB, ou par la continuité de la composante tangentielle de
