Formule de Steiner-Minkowski - Définition

C désigne un compact convexe dans cette démonstration. Dans un premier temps, on établit l'égalité de Steiner-Minkowski uniquement pour les polygones convexes.

• Si P est un polygone d'aire égale à a_P et de périmètre p_P et si ε est un nombre réel positif :

Dans le cas d'un polygone convexe, la deuxième formule de Steiner-Minkowski est presque évidente, elle est illustrée par la figure en haut à droite, pour le cas d'un hexagone. On peut décomposer l'aire en trois parties. La partie jaune correspond à l'aire a_P du polygone. La partie bleue est l'accroissement de surface au-dessus d'une arête, pour chaque arête on obtient une surface rectangulaire d'aire la longueur de l'arête que multiplie ε. Comme la somme des longueurs des arêtes est égale à p_P, on trouve le terme p_P.ε. Enfin, à chaque sommet, on trouve une portion de disque de rayon ε, représentant un angle θ_s. Comme parcourir le polygone revient à faire un tour complet, la somme des angles θ_s est égal à 2π, ce qui montre que la somme des aires des portions de disque correspond à l'aire d'un disque complet, de rayon ε.

Dans le cas général, le terme p, intervenant dans la formule à démontrer, désigne le périmètre du compact convexe C, il est nécessaire de montrer qu'il est fini.

• La frontière de C est rectifiable :

Si l'intérieur de C est vide, trois points quelconques de C sont alignés sinon la convexité montre que le triangle de sommets ces trois points est inclus dans C et est d'intérieur non vide. C est inclus dans une droite. Comme il est convexe et compact, sa géométrie est celle d'un segment et la proposition est évidente.

Si l'intérieur de C est non vide, on considère un point O de cet intérieur. Cette configuration est illustrée sur la figure de droite. Comme C est compact, il existe un réel positif a tel que le disque de centre O et de rayon a contienne C. On considère un cercle C_b de centre 0 et de rayon b strictement plus grand que a. Ce cercle est illustré en rouge sur la figure. L'objectif est de montrer qu'un polygone P convexe dont les sommets sont des points de la frontière de C est de périmètre plus petit que 2π.b. Le polygone P est illustré en bleu. Pour cela, on considère l'ensemble des segments d'extrémités le centre 0 et un point du cercle C_b frontière du disque, passant par un sommet de P. Ils sont illustrés en vert sur la figure. Soit E l'ensemble des polygones convexes dont les sommets sont tous sur les segments précédemment décrits. Si s est le nombre de sommets de P, on peut identifier E à une partie de [0, b]^s, sous ensemble de R^s. Cette identification permet de munir E de la topologie induite par celle de R^s. L'ensemble E est alors un compact et la fonction qui associe son périmètre à un convexe est continue, elle admet au moins un maximum.

On va montrer qu'il n'existe qu'un unique maximum M, correspondant au polygone illustré en rouge sur la figure et correspondant au point de coordonnées (b, ..., b). Pour cela on montre qu'un polygone P_c ayant au moins une coordonnée strictement inférieure à b ne peut être de périmètre maximal dans E. Soit S₂ ce sommet à une distance strictement inférieure à b de O et soit S₁ et S₃ les deux sommets précédents et suivant. Soit L₂ le segment vert, contenant S₂ et d'extrémité O et un point du cercle C_b. Comme les points de E correspondent à des convexes, le sommet S₂ est dans la portion L_2c de L₂ d'extrémités, l'intersection de L₂ avec [S₁, S₃], et un point du cercle. Tout polygone ayant même sommets que P_c à l'exception de S₂, remplacé par un point de L_2c est élément de E. Parmi ces polygones, celui de plus grand périmètre est celui pour lequel S₂ est remplacé par un point du cercle C_b. Le polygone P_c possède un périmètre strictement majoré, il n'est donc pas maximal. Le seul polygone de périmètre maximal possible est M, comme par ailleurs, nous savons qu'il existe un polygone de périmètre maximal dans E, il correspond nécessairement à M.

Le polygone P est de périmètre majoré par celui de M, lui même majoré par 2π.b. On en déduit que toute ligne polygonale approximant le convexe C est majoré par 2π.b, ce qui montre que la frontière est bien rectifiable.

On appelle p le périmètre de C, qui est une grandeur finie d'après la démonstration précédente. On montre ensuite qu'il est possible d'approcher C par un polygone compact convexe. La lettre η désigne un réel strictement positif.

• Il existe un polygone compact convexe P inclus dans C, à une distance de Hausdorff inférieure à η de C et tel que les périmètres et les aires de C et de P diffèrent de moins de η :

On choisit un polygone convexe dont les sommets sont des points de C et qui approxime le périmètre de C à η près. Quitte à ajouter des points, on choisit le polygone tel qu'aucune arête ne soit de longueur l, supérieure à 1 ou à η/(p + π). Ce polygone est noté P. La surface P + l.B contient le convexe C, la démonstration est proposée dans l'article Théorème isopérimétrique au paragraphe Polygone et Steiner. Ceci montre que la distance de Hausdorff entre P et C est inférieure à η. L'aire μ(P + l.B) est plus grande que celle de C car C est contenu dans P + l.B. La formule de mesure d'une telle aire pour un polygone et le fait que le périmètre de P soit plus petit que celui de C montre que :

La formule est maintenant établit pour les polygones et il existe un polygone proche de C, à la fois en surface et en périmètre. Dans la démonstration suivante, ce polygone permet de montrer que la première formule de Steiner Minkowski est vraie aussi pour C. Si la frontière est un lacet simple, on trouve une démonstration dans l'article Longueur d'un arc.

• La première formule de Steiner-Minkowski est vraie pour C :

Soit (P_n) une suite de polygones contenus dans C tel que la distance de Haudorff entre P_n et C soit inférieur à 1/n, et les périmètres et les aires de P_n et C diffèrent de moins de 1/n. Si on note a_p l'aire de P_n et p_p son périmètre, on dispose des majorations :

On dispose ensuite des majorations, si a désigne l'aire de C :

On en déduit :

Il suffit alors de faire tendre n vers plus l'infini pour conclure.

• La deuxième formule de Steiner-Minkowski est vraie pour C :

C'est une conséquence directe de la première formule de Minkowski et du fait que le coefficient de degré 1 est égal au périmètre de la frontière.