En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k,n) ou
la grassmanienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps
. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmannienne des k-plans.
Exemples
Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Pour k = n − 1, la grassmannienne correspond a l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, vu que chaque point correspond à un hyperplan.
Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des Grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.
Quelques réalisations concrètes
Les grassmanniennes sont des variétés algébriques projectives. On en donne ici deux représentations.
Gp,n comme espace quotient
Pour le voir on note GLp,n l'ensemble des matrices de taille p,n et de rangp ;
SLp,n l'ensemble des matrices de taille p,n et de rang p ; dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.
On remarque que Gp,n est isomorphe à l'espace quotient GLp,n / GLp pour la relation d'équivalence :
si et seulement si
telle que Y = MX.
Si on note Up l'ensemble des matrices unitaire, Gp,n est isomorphe à l'espace quotient SLp,n / Up pour la relation d'équivalence
si et seulement si
telle que Y = MX.
On voit que les topologies induites par ces représentations sont identiques via la représentation de Choleski.
Gp,n comme recollement de sous espaces affines
On introduit la base canonique de
et on note S une n − k-partie de {1...n}, E1 = ES le sous espace engendré par les vecteurs
.
On note VS = Gp,n,S l'ensemble des sous espaces vectoriels de dimension k ne rencontrant pas E1 = ES (à l'exception du vecteur nul).
Première étape
Soit V un sous espace de VS.
En projetant V sur
et E1 = ES, on voit que tout vecteur
s'écrit x = u + v = p(x) + q(x) avec
et
, comme V et E1 ont même dimension, il existe d'autre part
telle que x = φ(u). On a alors x = u + qoφ(u) avec
.
L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective un sous-espace de VS à une application linéaire. Ou encore, en prenant la matrice de ψS(V) de
, une bijection entre VS et Mn − k,k, l'ensemble des matrices réelles de taille n − k,k.
On obtient ainsi, via la bijection,
, une description affine de Gp,n,S, des sous espaces de dimension pne rencontrant pas ES. C'est-à-dire d'une partie 'ouverte' (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la Grassmanienne Gp,n.
troisième étape
On montre que pour deux parties différentes S et T, les changements de cartes ψTo(ψS) − 1 induits par les descriptions de Gp,n,S et Gp,n,T est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre
et
.
On en déduit par recollement que cette Grassmannienne est une variété algébrique.
La représentation précédente permet alors de montrer que
est une variété non singulière, affine, fermée et bornée ;
et
étant birégulièrement isomorphe.
comme ensemble de matrices
Soit
la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de
. Soit
l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients réels. Considérons l'ensemble des matrices
définies par
si et seulement si les trois conditions sont remplies :
C'est-à-dire les matrices de projecteurs orthogonaux de rang p.
On obtient par ce biais une représentation de
comme un sous ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.
Gp,n comme plongement
Un autre façon de réaliser la grasmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grasmanniennes. Ce plongement de
dans l'espace projectif
des produits extérieurs de degré k dans l'espace
prolonge les travaux de Julius Plücker pour le cas des plans de