Histoire de l'analyse fonctionnelle - Définition

À partir de 1973 : Enflo

Banach avait admis l'hypothèse raisonnable que tout opérateur compact est limite d'opérateurs de rang fini : ainsi, étaient justifiées les méthodes d'approximations utilisées en analyse fonctionnelle. Mais en 1973, Per Enflo exhibe des contre-exemples à cette conjecture : des espaces de Banach réflexifs ne la vérifient pas. Toutefois, comme les espaces de Banach fonctionnels munis d'une base de Schauder la vérifient, et que ce sont les plus usités, il apparait aux yeux de nombreux mathématiciens que cette nouvelle information exclut de l'analyse banachique un pan « fort abstrait et inutile » de l'analyse fonctionnelle.

Cette information recentre le travail des mathématiciens sur les espaces de Banach pour lesquels on peut faire un pont vers les espaces de Hilbert, et les notions de type et de cotype sont introduites pour mesurer l'écart entre un espace de Banach et un de Hilbert, et on approxime non plus des fonctions par d'autres, mais des espaces de fonctions (avec métrique et autres caractéristiques) par d'autres espaces de fonctions.

La théorie des sous-espaces invariants (dans un espace de fonctions) associés à un opérateur, ou un ensemble d'opérateurs, permet de reformuler nombre de résultats antérieurs et a acquis ses lettres de noblesse dans les années 1980.

À partir des années 1930 : algébrisation

Dans les années 1930, Norbert Wiener montre qu'un espace de Banach de fonctions peut être muni d'une structure d'algèbre commutative en faisant ce que l'on nomme maintenant une algèbre de Banach. Cela permet d'étudier les espaces de fonctions qui sont de Banach dans le cadre des groupes et algèbres de Lie, en faisant intervenir quand même la dualité topologique, et la théorie spectrale : l'étude systématique des algèbres d'opérateurs est lancée. Ce thème est développé par l'école russe avec des mathématiciens comme Israel Gelfand, M. Raikov, Chilov, Naimark.

Un cas particulièrement intéressant est celui des C*-algèbres, rencontrant les espaces de Hilbert (Gelfald et Naimark, 1943) et des propriétés trouvées dès 1932 par von Neumann. La compréhension et la classification des C*-algèbres est une œuvre de plusieurs décennies, ponctuée par des publications faisant le point, comme celles de Jacques Dixmier, et qui est considérée comme complète en 1978 à la suite des travaux d'Alain Connes. Malgré cela, l'algébrisation n'est pas finie : homologie et cohomologie des algèbres de Banach se développent en s'inspirant de la physique quantique.

À partir des années 1980 : éclatement de la discipline

En 1980, les Mathematical Reviews distinguent l'analyse fonctionnelle de la théorie des opérateurs, du calcul des variations et de l'analyse harmonique. L'analyse fonctionnelle existe-t-elle encore réellement comme discipline propre ? La réponse aujourd'hui n'est pas évidente, sauf peut-être dans le domaine de l'enseignement, mais la recherche concernant l'ensemble du domaine qu'un siècle de mathématiques a fait émerger est largement inter-disciplinaire, et il n'y a pas d'objectif commun apparent entre les différentes branches qui en sont issues.