Hodographe - Définition

Introduction

Un hodographe est un diagramme donnant une représentation vectorielle des vitesses relatives instantanées en tout point d'un corps ou d'un fluide qui se déforme. On l'utilise en physique, en astronomie, en météorologie et en mathématique.

Mathématique

Représentation de la trajectoire d'une planète autour du Soleil comme un hodographe. Les quatre points représentent quatre moments de l'année orbitale, le cercle la trajectoire selon les lois de Kepler et la rencontre de l'abscisse et de l'ordonnée est la position du Soleil.

L'hodographe du mouvement d'un mobile ponctuel M par rapport à un point fixe O est le lieu H des points P tels que:

où est le vecteur vitesse de M à l'instant t.

Météorologie

Hodographe avec les vents d'un radiosondage pointés (Source: NOAA)

L'hodographe est utilisé en météorologie pour pointer les données de vents d'un radiosondage. Il prend la forme d'un diagramme polaire où la direction est indiqué par l'angle au centre de la figure et la grandeur par la distance avec celui-ci. Dans la figure à droite, on a dans la partie du bas la grandeur et la direction des vents à différentes altitudes au-dessus du sol. Ceux-ci sont pointés comme les vecteurs à . L'hodographe est donc la ligne qui joint la tête de ces vecteurs.

Il est a remarquer que l'angle d'où vient le vent est pointé comme dans un miroir dans ce type d'hodographe. Ainsi, la partie supérieure droite de l'image montre comment on doit pointer les vecteurs (ex. un angle de 180 degrés se trouve tracé vers le haut donc les vents venant du sud se dirigent vers le nord). L'hodographe nous permet de calculer différents paramètres en conjonction avec les diagrammes thermodynamiques comme le téphigramme :

• Cisaillement : la ligne qui relie entre elles les extrémités de ces vecteurs constituent le changement, tant en direction qu'en grandeur, du vent avec l'altitude. Elles représentent le cisaillement des vents dans une couche de l'atmosphère. Ce dernier est important à connaître pour la prévision du développement des orages et le comportement des vents dans le futur.
• Turbulence : selon la valeur du cisaillement dans une couche, on peut en déduire la turbulence très importante pour l'aviation.
• Advection de température : pour savoir le changement de température à une altitude, il suffit de regarder la relation entre le vecteur du vent à ce niveau et le cisaillement entre ce niveau et celui au-dessus. En effet, le vent indique la direction d'où vient le vent et le cisaillement dans quelle direction on a un changement de masse d'air. Dans l'hémisphère nord, l'air chaud se trouve à droite du cisaillement alors que c'est l'inverse dans l'hémisphère sud (voir Vent thermique). Par exemple, dans l'image le vent vient du sud-ouest et le cisaillement est vers la droite. Donc il y aura advection d'air chaud dans cette couche de l'atmosphère : elle se réchauffera.

Physique

L'hodographe en physique est construit à la fois avec le plan physique et le plan de représentation des contraintes pour déterminer le champ des lignes de glissement dans un matériau qui se déforme plastiquement ou les forces qui s'exercent dans un système.

Ainsi on l'utilise en astronomie pour représenter la trajectoire des planètes. Le vecteur reliant le Soleil à la planète étant inversement proportionnel à la vitesse et la tangente à la trajectoire, la direction de déplacement instanée.

Bibliographie

• (en) David L. Goodstein & Judith R. Goodstein, Feynman's Lost Lecture — The Motion of Planets Around the Sun, W.W.Norton & Company: New York, (1996), ISBN 0-393-03918-8. On y démontre l'utilisation de l'hodographe pour trouver les orbites elliptique des planètes (lois de Kepler) à partir des lois de Newton.