Lemme de Scheffé - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Énoncé et démonstration - A voir - Variante discrète

Introduction

Le lemme de Scheffé est un critère de convergence en loi concernant les suites de variables aléatoires à densité.

Énoncé et démonstration

Lemme de Scheffé — Soit $\scriptstyle\ (f_{n})_{n\ge 0}\$ une suite de densités de probabilité définies sur le même espace $\scriptstyle\ E\$ et par rapport à la même mesure $\scriptstyle\ \mu\$ sur $\scriptstyle\ E\$ . Supposons que $\scriptstyle\ (f_{n})_{n\ge 0}\$ converge $\scriptstyle\ \mu-\$ presque partout vers une densité de probabilité $\scriptstyle\ f.\$ Alors

$\scriptstyle\ (f_{n})_{n}\$ converge vers $\scriptstyle\ f\$ dans $\scriptstyle\ L_{1},\$
si les variables aléatoires $\scriptstyle\ X_{n}\$ et $\scriptstyle\ X\$ ont pour densités respectives $\scriptstyle\ (f_{n})_{n}\$ et $\scriptstyle\ f,\$ alors $\scriptstyle\ X_{n}\$ converge en loi vers $\scriptstyle\ X.\$

On a

$\begin{align} \int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ +\ \int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu &= \Vert f-f_{n}\Vert_{1} \\ \int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ -\ \int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu &= \int\left(f-f_{n}\right)d\mu \\ &= 1-1=0 \end{align}$

Mais

$0 \le \left(f-f_{n}\right)_{+} \le f.$

Or $\scriptstyle\ f\$ est intégrable, et, par hypothèse, $\scriptstyle\ \left(f-f_{n}\right)_{+}\$ converge vers 0 $\scriptstyle\ \mu\$ -p.p., ce qui permet de conclure, à l'aide du théorème de convergence dominée, que

$\lim_n\int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ =\ \lim_n\int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu\ =\ 0.$

En conséquence,

$\lim_n\Vert f-f_{n}\Vert_{1}\ =\ 0.$

De plus, notons que pour $\scriptstyle\ \varphi\$ continue bornée sur $\scriptstyle\ E,\$ on a

$\begin{align} \left|\mathbb{E}[\varphi(X_{n})]-\mathbb{E}[\varphi(X)]\right|&= \left|\int_{E}\varphi f_{n}d\mu-\int_{E}\varphi fd\mu\right| \\ &\le \Vert \varphi\Vert_{\infty}\Vert f_{n}-f\Vert_{1}. \end{align}$

Par suite

$\lim_n\mathbb{E}[\varphi(X_{n})] =\ \mathbb{E}[\varphi(X)],$

ce qui caractérise bien la convergence en loi de $\scriptstyle\ X_{n}\$ vers $\scriptstyle\ X.\$

Donc, lorsque des fonctions sont positives et ont la même intégrale, on est affranchi des hypothèses habituelles de majoration uniforme de l'erreur apparaissant dans le théorème de convergence dominée.

En général, on applique le lemme de Scheffé dans le cas où $\scriptstyle\ E=\mathbb{R}^d\$ et où la mesure $\scriptstyle\ \mu\$ est la mesure de Lebesgue : les variables aléatoires apparaissant dans le lemme sont alors des variables "à densité".

Exemple : convergence de la loi de Student vers la loi normale

Un exemple d'application est la convergence de la loi de Student vers la loi normale. Pour k ≥ 1, la loi de Student à k degrés de liberté a pour densité

$f_k(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},$

où Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. On a classiquement, pour tout $\scriptstyle\ t\in\mathbb{R},$

$\lim_k\left(1+\frac{t}{k}\right)^{k}=e^{t},$

et donc

$\lim_k\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}=e^{-t^2/2}.$

On a aussi

$\lim_{t\uparrow+\infty}\frac{\Gamma(t+\frac{1}{2})}{\Gamma(t)\sqrt{t}}=1.$

Donc

$\lim_kf_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{-t^2/2}.$

CQFD

A voir

Bibliographie

(en) Rick Durrett, Probability : Theory and Examples, Thomson Brooks/Cole (Belmont, CA), coll. « Duxbury advanced series », 2005, 3^e éd., 497 p. , Section II.2.a., page 81.

Pages liées

Variante discrète

Sous certaines conditions, on peut adapter le lemme de Scheffé pour démontrer la convergence de lois discrètes vers des lois à densité. Pour un vecteur $\scriptstyle\ x\in\mathbb{R}^d$ , notons $\scriptstyle\ \left\lfloor x\right\rfloor\$ le vecteur de coordonnées $\scriptstyle\ \left\lfloor x_{i}\right\rfloor\$ , $\scriptstyle\ 1\le i\le d$ . Alors

Lemme de Scheffé discret — On se donne une suite de v.a. $\scriptstyle\ (X_{n})_{n}\$ à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{Z}^d$ , une suite $\scriptstyle\ a_{n}$ , tendant vers $\scriptstyle\ +\infty$ , de réels strictement positifs, et une densité de probabilité $\scriptstyle\ f$ sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ . Si p.p. en $\scriptstyle\ x$ on a

$\lim_{n} a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)=f(x),$

alors $\scriptstyle\ X_{n}/a_{n}$ converge faiblement vers $\scriptstyle\ f(x) dx$ .

Considérons la fonction

$f_{n}(x) = a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor\right).$

C'est une densité de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue (notée $\scriptstyle\ \mu$ ) sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ . Par exemple, si $\scriptstyle\ U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur $\scriptstyle\ [0,1]^d$ , indépendante de $\scriptstyle\ X_{n}$ , alors $\scriptstyle\ f_{n}$ est la densité de

$Y_{n} = \frac{X_{n}+U}{a_{n}}.$

Le lemme de Scheffé ordinaire montre que $\scriptstyle\ Y_{n}$ converge en loi vers $\scriptstyle\ f$ . Mais, pour n'importe quelle norme sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ ,

$\left\Vert Y_{n}-\frac{X_{n}}{a_{n}}\right\Vert\ =\ \mathcal{O}\left( \frac1{a_{n}}\right),$

donc, en vertu du théorème de Slutsky, $\scriptstyle\ X_{n}/a_{n}$ aussi converge faiblement vers $\scriptstyle\ f(x) dx$ .

Une fois cette dernière démonstration faite, le lemme de Scheffé discret dispense de trouver une majoration du terme d'erreur

$\left|a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)-f(x)\right|,$

uniforme pour $\scriptstyle\ x\in A,$ ce qui serait une manière plus lourde de montrer que

$\lim_n\ \mathbb{P}\left(X_{n}/a_n \in A \right)\ =\ \lim_n\ \sum_{k\in(a_n\,A)\cap\mathbb{Z}^d}\ \mathbb{P}\left(X_{n}=k \right)\ =\ \int_A\ f(x)dx.$

Habituellement, un contrôle uniforme de la rapidité de convergence des termes de la somme est nécessaire pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité (le terme de gauche est une somme finie dont le nombre de termes tend vers l'infini) vers l'intégrale limite. Dans ce cas précis, grâce au lemme de Scheffé, la convergence des termes de la somme, renormalisés, suffit pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire

La loi de la distance $\scriptstyle\ D_n$ entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire, est donnée, pour $\scriptstyle\ 0\ \le\ k\ \le\ n-1,\$ par

$\mathbb{P}\left(D_n=k\right)\ =\ \frac{(k+1)\times(n)_{\downarrow k+1}}{n^{k+2}}.$

En vertu de la bijection de Joyal, c'est aussi la loi du nombre de points cycliques d'une application de $\scriptstyle\ [\![1,n]\!]$ dans $\scriptstyle\ [\![1,n]\!].\$ Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux problème des anniversaires. Lorsqu'on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste $\scriptstyle\ \Omega\ =\ [\![1,n]\!]^{\mathbb{N}},\$ le rang $\scriptstyle\ T_n(\omega)\$ de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que $\scriptstyle\ 2+D_n\$ : pour $\scriptstyle\ 2\ \le\ k\ \le\ n+1,\$

$\mathbb{P}\left(T_n=k\right)\ =\ \mathbb{P}\left(D_n=k-2\right).$

On peut montrer, à l'aide du lemme de Scheffé, que

Proposition — $\scriptstyle\ D_n/\sqrt{n}$ converge en loi vers la loi de Rayleigh.

En effet, pour un nombre réel x strictement positif,

$\begin{align} \mathbb{P}\left(D_n=\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor\right) &=\ \frac{(\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1)\times(n)_{\downarrow \left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1}}{n^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ \frac{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1}{\sqrt{n}}\ \prod_{k=0}^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\,\left(1-\frac{k}{n}\right)\\ &\simeq\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ x\ \prod_{k=0}^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\,\left(1-\frac{k}{n}\right)\\ &\simeq\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ x\ \exp\left(-\mathcal{H}_{n,\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\right), \end{align}$

où

$\mathcal{H}_{n,\ell}=-\sum_{k=0}^{\ell}\ln\left(1-\frac{k}{n}\right),$

et pour $\scriptstyle\ \ell\$ suffisamment petit,

$\mathcal{H}_{n,\ell}\simeq\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\simeq\ \frac{\ell^2}{2n}.$

Plus précisément, pour $\scriptstyle\ 0\,\le\,\ell\,\le\,n/2,\$

$\left|\mathcal{H}_{n,\ell}\ -\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\right|\ \le\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k^2}{n^2}\ =\ \frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}{6\,n^2},$

et pour $\scriptstyle\ \ell=\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor,\$ dès que $\scriptstyle\ n\,\ge\,4x^2,\$

$\left|\mathcal{H}_{n,\ell}\ -\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\right|\ \simeq\ \frac{x^3}{3\,\sqrt{n}},\quad\text{et}\quad\sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\ \simeq\ \frac{x^2}{2}.$

Ainsi, pour tout nombre réel x strictement positif,

$\mathbb{P}\left(D_n=\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor\right) \simeq\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ x\ \exp\left(-x^2/2\right).$

CQFD

En conséquence :

la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de $\scriptstyle\ \sqrt{n}\$ ;
$\scriptstyle\ T_n/\sqrt{n}$ converge en loi vers la loi de Rayleigh. Dans le cadre du problème des anniversaires, où l'on choisit n=365, $\scriptstyle\ T_n(\omega)\$ s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement) : la probabilité que dans un groupe de $\scriptstyle\ \alpha\sqrt{n}\$ personnes, toutes les dates d'anniversaire soit différentes, peut être estimée comme suit :

$\mathbb{P}\left(T_n>\alpha\sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(T_n/\sqrt{n}\ >\alpha\right)\simeq\int_{\alpha}^{+\infty}x\ \exp\left(-x^2/2\right)dx\ =\ e^{-\alpha^2/2},$

et vaut donc 1/2 pour un groupe d'approximativement $\scriptstyle\ \sqrt{365\times2\ln(2)}\$ (soit 22,5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement $\scriptstyle\ \sqrt{365\times2\ln(10)}\$ (soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).

Un contrexemple : la marche aléatoire simple symétrique

Notons $\scriptstyle\ S_{n}$ la position de la marche aléatoire simple symétrique au temps $\scriptstyle\ n$ . Abraham De Moivre a montré que $\scriptstyle\ S_{n}/\sqrt n$ converge en loi vers $\scriptstyle\ e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}\ dx.\$ Ce faisant, Abraham De Moivre a mis à son compte 3 « premières » :

première apparition de la loi normale,
première version du théorème de la limite centrale,
découverte et première utilisation de la formule de Stirling.

Malheureusement, on ne peut pas appliquer directement le lemme de Scheffé discret pour prouver le résultat de De Moivre. En effet :

$\limsup_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=2e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi},$

$\liminf_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=0.$

Comme $\scriptstyle\ S_{n}$ est de même parité que $\scriptstyle\ n,$ la suite $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)\$ prend la valeur zero pour une infinité d'indices, ceux pour lesquels $\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor$ et $\scriptstyle\ n\$ n'ont pas la même parité : dès que $\scriptstyle\ x\neq 0,$ on peut vérifier à la main que $\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{2n}\ x\right\rfloor$ est impair pour une infinité d'indices (et pair pour une infinité d'indices également), un constat analogue pouvant être fait pour $\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{2n+1}\ x\right\rfloor.$ En revanche, lorsque $\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor$ et $\scriptstyle\ n\$ ont même parité, on a:

$\mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)\ =\ {n\choose \left(n+\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor\right)/2}\ 2^{-n}.$

La formule de Stirling conduit alors à la limite annoncée, $\scriptstyle\ 2\,e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}.\$ On peut cependant adapter la démonstration du lemme de Scheffé discret à ce cas particulier : il suffit de poser

$Y_{n} = \frac{S_{n}-1_{n\text{ impair}}+2U}{\sqrt{n}}.$

Alors $\scriptstyle\ Y_{n}\$ a pour densité

$\frac{\sqrt{n}}2\ \mathbb{P}\left(S_{n}=1_{n\text{ impair}}+2\left\lfloor \frac{\sqrt{n}x}2\right\rfloor \right)\ \simeq\ \,e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi},$

toujours via la formule de Stirling. Ainsi $\scriptstyle\ Y_{n}\$ converge en loi vers la loi normale, en vertu du lemme de Scheffé. Mais, comme plus haut,

$\left\Vert Y_{n}-\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}\right\Vert\ =\ \mathcal{O}\left( \frac1{\sqrt{n}}\right).$

Le théorème de de Moivre résulte alors de la convergence en loi de $\scriptstyle\ Y_{n},\$ et du théorème de Slutsky.

- Introduction - Énoncé et démonstration - A voir - Variante discrète

Batteries: capacité triplée avec ces nouvelles anodes en silicium !

Il y a 50 minutes

La moelle épinière possède sa propre mémoire

Il y a 51 minutes

Cette équation prédit une "magnetic RAM" un million de fois plus rapide

Il y a 2 heures

Des humains ont vécu dans cet immense tube de lave il y a 7000 ans

Il y a 2 heures

L'anxiété et la dépression peuvent diminuer grâce à cette stimulation transcrânienne

Il y a 19 heures

Le bon ratio oméga-6/oméga-3 dans l'assiette pour lutter contre l'obésité

Il y a 19 heures

Des particules plus rapides que la lumière ? Premier test réussi pour les tachyons

Il y a 1 jour

Cette nouvelle approche permet de cibler les cellules cancéreuses pour les combattre

Il y a 1 jour

Intel dévoile le plus grand ordinateur neuromorphique au monde, imitant le cerveau humain

Il y a 1 jour

Cette créature expliquerait notre réaction instinctive de combat ou de fuite

Il y a 1 jour

Les traumatismes de l'enfance altèrent les fonctions musculaires en vieillissant

Il y a 1 jour

Pourquoi nous gratouillons-nous si souvent pour rien ?

Il y a 1 jour

Découverte d'un serpent géant, le plus grand de tous les temps ?

Il y a 2 jours

Découverte d'un nouveau principe de mouvement dans les cristaux liquides

Il y a 2 jours

Une concentration extrême de matière noire révélée par cet anneau d'Einstein

Il y a 2 jours

Comment les émissions des véhicules à essence se transforment en particules respirables

Il y a 2 jours

L'atmosphère de Vénus fuit dans l'espace

Il y a 2 jours

Quand la lutte contre la pollution de l'air contribue au réchauffement climatique: le paradoxe environnemental

Il y a 2 jours

Un trou noir dormant géant découvert dans notre voisinage cosmique

Il y a 3 jours

Grippe aviaire: le risque de propagation aux humains "extrêmement préoccupant" d'après l'OMS

Il y a 3 jours

Le secret des crânes coniques et des dents limées des Vikings

Il y a 3 jours

Les terres rares, loin d'être rares, affectent les plantes

Il y a 3 jours

La marine américaine développe sa première arme à micro-ondes contre les drones

Il y a 4 jours

Premier atlas de l'ovaire humain: un pas vers l'ovaire artificiel

Il y a 4 jours

La vision suffit pour produire les mouvements collectifs (vidéo)

Il y a 4 jours

Comment la Voie lactée a-t-elle influencé l'Egypte antique ?

Il y a 4 jours

Coopérer ou rivaliser: comment décide notre cerveau ?

Il y a 4 jours

S'inspirer des os de géants pour la construction

Il y a 5 jours

Rigidité artérielle: un nouvel indicateur pour prévenir les maladies cardiovasculaires

Il y a 5 jours

Pourquoi les femmes seules consomment-elles plus de sucreries ?

Il y a 5 jours

Que faut-il savoir sur les PFAS, ces "polluants éternels" ?

Il y a 5 jours

Découverte: ces substances courantes accélèrent le vieillissement

Il y a 5 jours

Des scientifiques identifient le meilleur moment de la journée pour faire du sport

Il y a 5 jours

Cette rupture technologique pourrait décupler la capacité des disques durs

Il y a 6 jours

Cycle menstruel: une étude scientifique établit un lien avec la Lune

Il y a 6 jours

Quand un trio d'étoiles devient un couple: une histoire cataclysmique retracée

Il y a 6 jours

Ce petit ver possède des yeux immenses: pourquoi ?

Il y a 6 jours

D'où vient cette structure fractale observée dans une bactérie ?

Il y a 6 jours

Découverte majeure dans les allergies respiratoires

Il y a 6 jours

Voici ce qui a produit la lumière la plus lumineuse jamais détectée dans l'Univers

Il y a 7 jours

Propagation inquiétante de la "mouche noire" suceuse de sang en Allemagne

Il y a 7 jours

Le hasard confère le prix Turing et 1 million de dollars au mathématicien Avi Wigderson

Il y a 7 jours

AI Act: comment encadrer l'intelligence artificielle en Europe ?

Il y a 7 jours

Quelle est cette forme étrange photographiée près de la Lune ?

Il y a 7 jours

Si vous avez déjà eu une entorse de la cheville, attention à ceci

Il y a 7 jours

Démonstration d'une nouvelle technologie de lévitation, stable et sans supraconductivité

Il y a 8 jours

Ces indices d'une rupture imminente de la faille de San Andreas

Il y a 8 jours

Cet effet inattendu de la musculation sur la mémoire

Il y a 8 jours

Les géantes Uranus et Neptune ne seraient pas faites comme nous l'imaginions

Il y a 8 jours

Parker Solar Probe se prépare à battre le record de vitesse de l'humanité

Il y a 8 jours

Populaires

Batteries: capacité triplée avec ces nouvelles anodes en silicium !

Découverte d'un serpent géant, le plus grand de tous les temps ?

La moelle épinière possède sa propre mémoire

Des particules plus rapides que la lumière ? Premier test réussi pour les tachyons

Cette équation prédit une "magnetic RAM" un million de fois plus rapide

Des humains ont vécu dans cet immense tube de lave il y a 7000 ans

Toutes les ventes flash et Codes Promos Amazon

Cdiscount: les meilleures réductions actuelles

Page générée en 5.302 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise