Le lemme de Scheffé est un critère de convergence en loi concernant les suites de variables aléatoires à densité.
Lemme de Scheffé — Soit
On a
Mais
Or
En conséquence,
De plus, notons que pour
Par suite
ce qui caractérise bien la convergence en loi de
Donc, lorsque des fonctions sont positives et ont la même intégrale, on est affranchi des hypothèses habituelles de majoration uniforme de l'erreur apparaissant dans le théorème de convergence dominée.
En général, on applique le lemme de Scheffé dans le cas où
Un exemple d'application est la convergence de la loi de Student vers la loi normale. Pour k ≥ 1, la loi de Student à k degrés de liberté a pour densité
où Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. On a classiquement, pour tout
et donc
On a aussi
Donc
Sous certaines conditions, on peut adapter le lemme de Scheffé pour démontrer la convergence de lois discrètes vers des lois à densité. Pour un vecteur
Lemme de Scheffé discret — On se donne une suite de v.a.
alors
Considérons la fonction
C'est une densité de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue (notée
Le lemme de Scheffé ordinaire montre que
donc, en vertu du théorème de Slutsky,
Une fois cette dernière démonstration faite, le lemme de Scheffé discret dispense de trouver une majoration du terme d'erreur
uniforme pour
Habituellement, un contrôle uniforme de la rapidité de convergence des termes de la somme est nécessaire pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité (le terme de gauche est une somme finie dont le nombre de termes tend vers l'infini) vers l'intégrale limite. Dans ce cas précis, grâce au lemme de Scheffé, la convergence des termes de la somme, renormalisés, suffit pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité.
La loi de la distance
En vertu de la bijection de Joyal, c'est aussi la loi du nombre de points cycliques d'une application de
On peut montrer, à l'aide du lemme de Scheffé, que
Proposition —
En effet, pour un nombre réel x strictement positif,
où
et pour
Plus précisément, pour
et pour
Ainsi, pour tout nombre réel x strictement positif,
CQFD
En conséquence :
Notons
Malheureusement, on ne peut pas appliquer directement le lemme de Scheffé discret pour prouver le résultat de De Moivre. En effet :
et
Comme
La formule de Stirling conduit alors à la limite annoncée,
Alors
toujours via la formule de Stirling. Ainsi
Le théorème de de Moivre résulte alors de la convergence en loi de