Marche aléatoire - Définition et Explications

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Introduction

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau \mathbb{Z}^2 ; 10 000 pas.

En mathématiques, en économie, et en physique théorique, une marche au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...) est un modèle mathématique (Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils,...) d'un système possédant une dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche aléatoire, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.), est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Markov. Elle signifie intuitivement qu'à chaque instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...), le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble...), même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...). Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée « marche de l'ivrogne ».

Cette modélisation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien (Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement...), correspondant aux mouvements en apparence aléatoires des particules présentes dans le fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) intérieur d'un grain (En météorologie maritime: Un grain est un vent violent et de peu de durée qui s'élève...) de pollen (Le pollen (du grec palè : farine ou poussière) constitue, chez les...).

En mathématiques ou en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...), on étudie souvent des marches au hasard sur des réseaux réguliers ou sur des graphes plus complexes. C'est par exemple la méthode utilisée par le moteur de recherche (Un moteur de recherche est une application permettant de retrouver des ressources (pages Web,...) Google (Google, Inc. est une société fondée le 7 septembre 1998 dans la Silicon Valley en Californie par...) pour parcourir, identifier et classer les pages du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services...).

Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes...). Une marche aléatoire est en effet un processus stochastique du type chaîne de Markov (Selon les auteurs, une chaîne de Markov est de manière générale un processus de...). Elle se décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) peut être elle-même constante, aléatoire ou fixée par le réseau ou le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) sur lequel on circule. À chaque pas, on a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas. Cet éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de valeurs), ou continu.

Historique

L'idée de marche aléatoire a été introduite (sans le nom) en 1905 par le biostatisticien Karl Pearson pour rendre compte des migrations d'une population de moustiques dans une forêt (Une forêt ou un massif forestier est une étendue boisée, relativement dense,...). Pearson y pose la question suivante :

« Un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...) part d'un point (Graphie) O et parcours l yards (0,914 m) en ligne droite ; il tourne d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) quelconque, et marche de nouveau l yards en ligne droite. Il répète ce processus n fois. Je demande la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) qu'après n de ces trajets, il soit à une distance située entre r et r + dr de son point de départ. »

La réponse à cette question est fournie une semaine plus tard par Lord Rayleigh dans la livraison suivante de Nature : lorsque n est suffisamment grand, cette probabilité vaut :

dP(r) \ \sim \ \frac{1}{n \, l^2} \quad \mathrm{e}^{- \ \frac{\displaystyle r^2}{\displaystyle 2 \, n \, l^2}} \quad r \ dr

Si Rayleigh fournit si rapidement la réponse, c'est qu'il a lui-même étudié en 1880 un problème connexe : le comportement d'une superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut...) d'ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) acoustiques toutes de même amplitude (Dans cette simple équation d’onde :), mais de phases aléatoires. Pearson répond à Rayleigh le 10 août :

« J'aurais dû le savoir, mais mes lectures ces dernières années se sont déplacées vers d'autres centres d'intérêt, et on ne s'attend pas à trouver la première étape d'un problème de biométrie dans un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir...) sur l'acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des...). »

Pearson poursuit ensuite :

« La leçon (La leçon est un terme qui revêt diverses significations dans le domaine de l'enseignement.) de la solution de Lord Rayleigh est que, dans un pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...) ouvert, l'endroit le plus probable pour trouver un ivrogne encore capable de tenir sur ses pieds se trouve quelque part dans le voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) de son point de départ. »

L'expression « marche aléatoire » n'a été introduite que vers 1919-1921 par le mathématicien hongrois George Pólya, qui utilisait le mot allemand « Irrfahrt ».

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