Marche aléatoire - Définition et Explications

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Introduction

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau \mathbb{Z}^2 ; 10 000 pas.

En mathématiques, en économie, et en physique théorique, une marche au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) est un modèle mathématique (Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens...) d'un système possédant une dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche aléatoire, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.), est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de...) Markov. Elle signifie intuitivement qu'à chaque instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...), le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des temps centrée sur le présent. L'intuition du...), même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée « marche de l'ivrogne ».

Cette modélisation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien (Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que...), correspondant aux mouvements en apparence aléatoires des particules présentes dans le fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu...) intérieur d'un grain (En météorologie maritime: Un grain est un vent violent et de peu de durée qui s'élève soudainement et qui est généralement accompagné de précipitations. Il se...) de pollen (Le pollen (du grec palè : farine ou poussière) constitue, chez les végétaux supérieurs, l'élément fécondant mâle de la...).

En mathématiques ou en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles...), on étudie souvent des marches au hasard sur des réseaux réguliers ou sur des graphes plus complexes. C'est par exemple la méthode utilisée par le moteur de recherche (Un moteur de recherche est une application permettant de retrouver des ressources (pages Web, forums Usenet, images, vidéo, fichiers, etc.) associées à des mots...) Google (Google, Inc. est une société fondée le 7 septembre 1998 dans la Silicon Valley en Californie par Larry Page et Sergey Brin, auteurs du moteur de recherche Google. Depuis 2001, Eric...) pour parcourir, identifier et classer les pages du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit...) internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services variés comme le courrier électronique, la messagerie...).

Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la...). Une marche aléatoire est en effet un processus stochastique du type chaîne de Markov (Selon les auteurs, une chaîne de Markov est de manière générale un processus de Markov à temps discret ou un processus de Markov à temps...). Elle se décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) peut être elle-même constante, aléatoire ou fixée par le réseau ou le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) sur lequel on circule. À chaque pas, on a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas. Cet éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de valeurs), ou continu.

Historique

L'idée de marche aléatoire a été introduite (sans le nom) en 1905 par le biostatisticien Karl Pearson pour rendre compte des migrations d'une population de moustiques dans une forêt (Une forêt ou un massif forestier est une étendue boisée, relativement dense, constituée d'un ou plusieurs peuplements d'arbres et d'espèces associées. Un boisement de faible étendue est dit bois, boqueteau ou...). Pearson y pose la question suivante :

« Un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement...) part d'un point (Graphie) O et parcours l yards (0,914 m) en ligne droite ; il tourne d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) quelconque, et marche de nouveau l yards en ligne droite. Il répète ce processus n fois. Je demande la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance...) qu'après n de ces trajets, il soit à une distance située entre r et r + dr de son point de départ. »

La réponse à cette question est fournie une semaine plus tard par Lord Rayleigh dans la livraison suivante de Nature : lorsque n est suffisamment grand, cette probabilité vaut :

dP(r) \ \sim \ \frac{1}{n \, l^2} \quad \mathrm{e}^{- \ \frac{\displaystyle r^2}{\displaystyle 2 \, n \, l^2}} \quad r \ dr

Si Rayleigh fournit si rapidement la réponse, c'est qu'il a lui-même étudié en 1880 un problème connexe : le comportement d'une superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement etc.)) d'ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.) acoustiques toutes de même amplitude (Dans cette simple équation d’onde :), mais de phases aléatoires. Pearson répond à Rayleigh le 10 août :

« J'aurais dû le savoir, mais mes lectures ces dernières années se sont déplacées vers d'autres centres d'intérêt, et on ne s'attend pas à trouver la première étape d'un problème de biométrie dans un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) sur l'acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes...). »

Pearson poursuit ensuite :

« La leçon (La leçon est un terme qui revêt diverses significations dans le domaine de l'enseignement.) de la solution de Lord Rayleigh est que, dans un pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le plus...) ouvert, l'endroit le plus probable pour trouver un ivrogne encore capable de tenir sur ses pieds se trouve quelque part dans le voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En...) de son point de départ. »

L'expression « marche aléatoire » n'a été introduite que vers 1919-1921 par le mathématicien hongrois George Pólya, qui utilisait le mot allemand « Irrfahrt ».

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