Méthode chakravala - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Aryabhata s'intéresse à l'arithmétique. Il établit les fondements de la méthode chakravala.

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la méthode chakravala est un algorithme pour résoudre les équations diophantiennes équivalentes à celles de Pell-Fermat. Une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) diophantienne est une équation à coefficients choisis dans les nombres entiers et les solutions recherchées sont entières. L'équation traitée est équivalente à :

x^2 -n\cdot y^2 = 1 \quad \text{avec} \quad n \in \mathbb N - \{0, 1\}

Cette méthode fut développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) en Inde et ses racines peuvent être retracées jusqu'au Ve siècle. Initié par Aryabhata, elle est développée plus avant par Brahmagupta et Bhaskara II.

Selenius, pour son évaluation de la méthode chakravala, énonce : «  La méthode représente un algorithme de meilleure approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) minimale qui, en raison de plusieurs propriétés de minimisation, avec un effort minimal et évitant les grands nombres produit automatiquement les meilleures solutions de l'équation. La méthode chakravala anticipa les méthodes européennes de plus d'un milliers d'années. Mais aucune performance européenne dans le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) entier de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) beaucoup plus tard après Bhaskara, n'égala la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...) merveilleuse et ingénieuse de chakravala. »

Il faut en effet attendre de XVIIe siècle pour que l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...) redécouvre de manière indépendante les résultats des travaux des mathématiciens indiens.

Objectif

Une forme d'équation de Pell-Fermat s'exprime de la manière suivante :

x^2 - n\cdot y^2 = 1 \ ;

Ici n désigne un entier strictement plus grand que 1 et sans facteur carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...), ce qui signifie que le seul carré parfait (En mathématiques, un entier n est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas...) qui divise n est égal à un. L'équation est diophantienne ce qui signifie que les couples (x0, y0) recherchée sont des couples de nombres entiers. Toutes les solutions s'expriment à partir du couple solution formée de deux entiers minimaux en valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des solutions. La méthode chakravala permet d'obtenir un couple de cette nature.

L'égalité suivante est un exemple de solution, elle est connue des indiens depuis avant notre ère :

1151^2 - 92\cdot 120^2 = 1 \;

Apports de Brahmagupta

Décors

Les méthodes proposées ici utilisent la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du formalisme actuel. Si le contenu mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) est analogue à celui de Brahmagupta, les techniques d'exposition ainsi que les démonstrations ne reflètent pas la pensée du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) indien. Les notations suivantes sont utilisées dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) le reste de l'article. On considère l'équation diophantienne suivante, où n est un entier plus grand que 1 et sans facteur carré :

(1) \quad x^2 - n\cdot y^2 = 1 \;

Soient A l'anneau des nombres irrationnels de la forme a + √n.b, où a et b désignent deux nombres entiers. Soient N l'application qui au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) a + √n.b associe a2 - n.b2 et φ l'application qui à a + √n.b associe φ(a + √n.b) = a - √n.b.

La fonction N correspond à la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) de A au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres. Elle possède une propriété bien utile. Un nombre α de A égal à a +√n.b correspond à une solution (a, b) de l'équation (1) si et seulement si N(α) est égale à 1. Ainsi, l'équation (1) peut encore s'écrire N(ξ ) = 1. Pour cette raison si α est un élément de A vérifiant N(α) = 1, on dit que α est racine de l'équation (1).

La fonction φ possède aussi d'utiles propriétés. C'est un automorphisme de A :

\forall \alpha, \beta \in \mathbb A \quad \varphi(\alpha \cdot \beta) = \varphi(\alpha)\cdot \varphi(\beta),\quad \varphi (\alpha -\beta) = \varphi (\alpha)-\varphi (\beta) \;

L'application φ est involutive c'est-à-dire que composée deux fois de suite avec elle-même, elle est égale à l'identité, ou encore son application inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) est égale à elle-même :

\forall \alpha \in \mathbb A \quad \varphi \circ \varphi (\alpha) = \alpha \;

Enfin, l'application φ offre une expression de la norme :

\forall \alpha \in \mathbb A \quad \mathcal N(\alpha) = \alpha\cdot \varphi(\alpha)

Si l'on note α = a + √n.b, elle provient du calcul suivant :

\mathcal N(\alpha) = a^2 - n\cdot b^2 = (a + \sqrt n \cdot b)\cdot (a - \sqrt n \cdot b) = \alpha\cdot \varphi(\alpha)

Samasa

La première propriété utilisée est la suivante :

  • Soit α et β deux éléments de A, alors :
\mathcal N(\alpha\cdot \beta) = \mathcal N(\alpha)\cdot \mathcal N(\beta)\;

Si α = a1 + √n.a2 et β = b1 + √n.b2 cette égalité s'écrit :

(a_1b_1 + na_2b_2)^2 - n\cdot(a_1b_2+a_2b_1)^2 = (a_1^2 - na_2^2)\cdot(b_1^2 - nb_2^2)\;

Cette égalité est connue sous le nom de Identité de Brahmagupta que les indiens l'appelaient Samasa. Pour se convaincre de son exactitude, il suffit d'exprimer N en fonction de l'automorphisme φ :

\mathcal N(\alpha\cdot \beta) = \alpha \beta \cdot \varphi (\alpha \beta) = \alpha\varphi (\alpha)\cdot \beta \varphi(\beta) = \mathcal N(\alpha)\cdot \mathcal N(\beta)\;

Un cas particulier correspond à celui où β est un entier k, l'égalité prend la forme suivante :

  • Soit α un élément de A et k un entier, alors :
\mathcal N(k \alpha) = \mathcal N(k)\cdot \mathcal N(\alpha)= k^2\cdot \mathcal N(\alpha)\;

Conséquences

  • Soit α un élément de A tel que N(α) = 1, alors α -1 est un élément de A et il vérifie N(α -1) = 1 et α -1 = φ(α).

En effet, dire que N(α) = 1, c'est dire que α.φ(α) = 1, ce qui montre que φ(α) est l'inverse de α et en appliquant φ à l'égalité α.φ(α) = 1, on obtient en remplaçant φ(α) par α -1 : α -1.φ(α -1) = 1

  • Si l'équation (1) admet une solution différente de +/- 1, alors elle admet une infinité de solutions distinctes.

En effet, si α est une solution, α -1 en est une aussi, d'après la proposition précédente et comme la norme d'un produit est égal au produit des normes, on dispose des égalités suivante :

\forall k \in \mathbb Z  \quad \mathcal N(u^k) = 1  \quad\text{et}\quad \mathcal N(-u^k) = 1\;

Il suffit de démontrer que les puissances de α sont toutes distinctes. Cette réalité provient du fait que si un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) x vérifie xk = 1, où k est un entier différent de 0, alors x est égal à +/- 1. Soit k et l deux entiers tel que αk = αl alors αk-l est égal à 1 et comme α est différent de 1 et -1, k - l est égal à 0.

Comprendre comment fait Brahmagupta pour résoudre l'équation (1) dépend de trois propositions, maintenant simples à démonter :

  • Soit α un élément de A tel que N(α) = -1, α 2 est solution de (1).

Il suffit de remarquer que la norme de α 2 est le carré de la norme de α et est égal à 1.

  • Soit α un élément de A tel que N(α) soit égal à +/- 2, alors 1/2.α2 est un élément de A solution de (1).

En effet, si α est égal à a + b.√n alors un calcul montre que α2 = a2 + n.b2 + 2ab.√n. Comme a2 + n.b2 = N(α) + 2.n.b2 et que N(α) et 2ab sont des multiples de 2, α2 l'est aussi. Le calcul suivant permet de conclure :

4\cdot \mathcal N \left(\frac {\alpha^2}2\right) =  \mathcal N \left(\alpha^2\right) = 4 \quad \text{et}\quad  \mathcal N \left(\frac {\alpha^2}2\right) = 1 \;
  • Soit α un élément de A tel que N(α) soit égal à +/- 4 et tel que 2 ne divise pas α, alors 1/8.α3 est un élément de A de norme égale à +/- 1.

En effet, calculons α3 :

\alpha^3 = (a + b\cdot \sqrt n)^3 = a^3 + 3ab^2n + \sqrt n\cdot(nb^3 + 3a^2b) = a(a^2 -nb^2 + 4nb^2) + b\sqrt n\cdot(3a^2 - 3nb^2 + 4nb^2) \;

En remarquant que N(α) = a 2 - n.b 2 = +/- 4, on obtient :

\alpha^3 = a\left(\mathcal N(\alpha) + 4nb^2\right) + b\sqrt n \cdot \left(3\cdot\mathcal N(\alpha) + 4nb^2\right)= 4a\left(\epsilon + nb^2\right) + 4b\sqrt n \cdot \left(3\epsilon + nb^2\right)\quad \text{avec}\quad \epsilon = \pm 1 \;

Comme ε est impair, il suffit de montrer que b est impair pour prouver que α3 est un multiple de 8. Si b est pair, n.b 2 est un multiple de quatre et comme N(α) = a 2 - n.b 2 est aussi un multiple de quatre, a est pair. Or par hypothèse α n'est pas un multiple de deux et a et b ne peuvent être pairs simultanément. En conséquence, b est impair et ε + nb2 ainsi que 3ε + nb2 sont pairs si n est impair. Ceci montre que α3 est bien un multiple de 8 si n est impair.

Or n est toujours impair. En effet, si n est pair, comme N(α) est pair, a l'est aussi et a 2 est un multiple de quatre, donc comme n n'a pas de facteur carré, n n'est pas un multiple de quatre donc b est pair et α est un multiple de 2, ce qui est contraire à l'hypothèse et termine la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...).

Ainsi la connaissance d'un élément α de norme égale à +/- 4 permet de trouver une solution. Si α est divisible par 2 dans A, 1/2.α est un élément de norme égale à +/- 1 et son carré est une solution. Sinon, 1/8.α3 est un élément de norme égale à +/- 1, un passage au carré permet encore de déterminer une solution.

Exemples

Exemple de Brahmagupta

Traitons avec cette méthode l'exemple de Brahmagupta suivant :

x^2 - 83\cdot y^2 = 1 \;

Choisissons comme premier essai α = 9 + √83 On remarque que N(α) = -2. Il est judicieux de calculer α2 :

\alpha^2 = (9^2 + 83\cdot 1) + \sqrt 83\cdot 2\times 9 \times 1 = 164 + \sqrt 83\cdot 18 = 2\left(82 + \sqrt 83 \cdot 9\right)\;

Une proposition précédente montre que 82 + √83.9 possède pour norme 1 et (82, 9) est solution de l'équation, en effet :

82^2 - 83\times 9^2 = 6\,724- 6\,723 = 1\;

Défi de Fermat

Le défi de Fermat se résout de la même manière :

x^2 - 61\cdot y^2 = 1 \;

Brahmagupta s'y prend de la manière suivante, il remarque que si α = 39 + 5.√61 alors N(α) est égal à -4. Bien évidemment le formalisme de Brahmagupta n'a rien à voir avec celui utilisé ici, même si les calculs sont les mêmes. Il calcule 1/2.α2 :

\frac 12\alpha^2 = \frac 12 (39 + 5\cdot \sqrt 61)^2 = \frac 12 (39^2 + 5^2\times 61 + 2\times 5 \times 39\sqrt 61) = 1\,523 + 195 \cdot \sqrt 61\;

Puis il calcule 1/8.α3 et sa norme :

\frac 18\alpha^3 = \frac 14 (39 + 5\cdot \sqrt 61)\cdot(1\,523 + 195 \cdot \sqrt 61) = 29\,718 + 3\,805 \cdot \sqrt 61\quad \text{et}\quad \mathcal N (\frac 18\alpha^3) = 29\,718^2 - 61\times 3\,805^2 = -1

La solution est donc 1/64.α6, soit :

\frac 1{64}\alpha^6=(29\,718 + 3\,805 \cdot \sqrt 61)^2 = 29\,718^2 + 61\times 3\,805^2 + 2\times 29\,718\times 3\,805 \sqrt 61 = 1\,766\,319\,049 + 226\,153\,980\sqrt 61\;

La méthode est remarquablement économique pour un algorithme aussi ancien.

Page générée en 0.216 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique