Méthode chakravala - Définition

• La valeur α_j.β_j est un élément de A multiple de k _j :

Utilisons les notations suivantes :

Les éléments a' _j+1 et b' _j+1 sont des éléments de Z. À ce titre ils peuvent être vu comme des éléments de l'anneau A. Dire que b' _j+1 est divisible par k _j revient à dire que b' _j+1 est divisible par α_j.φ(α_j), en effet :

On en déduit l'existence d'un nombre δ_j de A tel que : α_j.δ_j = a' _j+1. Si e _j et f _j sont deux éléments de Z tel que :

La dernière égalité exprime le fait que les couples (e _j, f _j) et (a _j, -b _j) sont proportionnels. Comme a _j et b _j sont premiers entre eux, il existe un entier a _j+1 tel que :

En remplaçant δ_j par sa valeur dans l'expression α_j.δ_j on obtient :

• Les valeurs a _j+1, b _j+1 sont premières entre elles si la valeur absolue de la norme de β_j est choisie minimale :

L'égalité suivante est vérifiée :

Un entier diviseur commun de a _j+1 et b _j+1 divise β _j ainsi que sa norme. Comme la norme de β _j est choisi minimale en valeur absolue, il n'existe aucun diviseur commun à a _j+1 et b _j+1 autre que 1 et -1.

• La suite (α_j) est définie de manière univoque et la suite (N(α_j)) est bornée :

Notons r la partie entière de la racine carrée de n. Montrons par récurrence α_j est inférieur ou égal à 2.r et que la suite est définie de manière univoque.

Si j est égal à un, On dispose des majorations suivantes :

La distance entre les deux carrés parfaits les plus proches encadrant n est égale à 2.r+1, ce qui montre que le carré le plus proche est à une distance inférieure ou égale à r car chaque terme de la majoration est entier. Le fait que le carré le plus proche soit à une distance inférieure ou égal à r et donc à 2.r montre que la norme de α₁ est inférieure à 2.r.

Comme n est entier, il ne peut être exactement au milieu de r ² et (r + 1)². Il n'existe donc qu'une unique valeur possible pour m ₀ et a fortiori pour α₁.

Supposons la propriété démontrée à l'ordre j et montrons là à l'ordre j + 1. Soit m' _j le plus grand entier inférieur ou égal à r et de la forme a_j + m' _j.b_j soit un multiple de k_j. On dispose des majorations suivantes :

Une fois encore n ne peut se situer exactement au milieu des deux bornes de la majoration, sinon √n serait une fraction, ce qui est contraire à l'hypothèse indiquant que n est sans facteur carré. On en déduit que m_j est défini de manière univoque et que n est à une distance de m _j² inférieure ou égale à m' _j.k_j + 1/2.k_j². Cette majoration et le fait que m _j soit inférieur ou égal à r, montrent que la norme de β_j est inférieure ou égal à r.k_j + 1/2.k_j². Le paragraphe précédent et l'hypothèse de récurrence établissent que :

Ce qui montre que la suite est majorée et qu'une valeur du majorant est donnée par 2.r si r désigne la partie entière de la racine carrée de n.

Montrons que la suite les classes des α_k est périodique. On remarque que deux éléments d'une même classe possèdent la même norme car la norme d'une unité est égale à 1 en valeur absolue, ce qui permet de donner un sens à la proposition suivante :

• Soit C une constante strictement positive. Il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalences d'éléments de A de norme inférieure à C :

Ce résultat est la conséquence d'un lemme, indiquant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux principaux généré par un élément de norme en valeur absolue inférieure à une constante donnée. Un idéal principal engendré par un élément α de A est l'ensemble des multiples de α dans A. Pour cela, il suffit d'établir la proposition suivante : Soit J un idéal principal engendré par un élément α de norme C un entier strictement positif et B le quotient de A par J.

(1) L'anneau unitaire quotient B est de cardinal fini :

Cette proposition est démontrée dans le paragraphe Idéal premier, idéal maximal de l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.

(3) Il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalences de norme inférieure à C :

Un idéal ne contient qu'une unique classe d'équivalence de générateurs. En effet, soit α et β deux générateurs d'un tel idéal. L'élément β est généré par α et réciproquement, ce qui montre l'existence d'éléments γ et δ tel que :

Le caractère fini du nombre d'idéaux et le fait qu'un idéal ne contient qu'une classe d'équivalence permet de conclure la démonstration.

• Soient i et j deux entiers positifs et ε un élément de A inversible. Si α_i = ε.α_j alors α_i+1 = ε.α_j+1 :

Si α_i = ε.α_j alors les normes de α_i et α_j sont égales en valeur absolue car la norme est multiplicative et celle de ε est égale à +/- 1. Le lemme montre que :

Ce qui montre que β_i est un multiple de la norme de α_j et comme la norme de β_i est choisi minimale, on a bien β_i = β_j et ceci termine la démonstration.

Soit ψ la fonction de A - {0} dans A - {0} qui à α_k associe α_k+1. Plus précisément à un élément α de A on associe un élément β de forme m + √n avec m entier naturel tel que β.α soit un multiple de la norme de α, de norme minimale et tel que l'égalité N(α).ψ(α) = α.β. Les lemmes et le paragraphe précédent montre que l'application ψ est bien définie et que, si α₀ est choisi égal à 1 :

Cette fonction possède une symétrie par rapport à la fonction φ, si G désigne le groupe des unités de A :

• La propriété suivante est vérifiée :

Autrement dit, si α possède pour image par ψ la valeur γ, alors γ possède pour image par ψ la valeur α, à un facteur inversible près.

En effet, si α possède pour image par ψ la valeur γ, il existe un unique élément β de la forme m + √n avec m entier naturel tel que, si ε₁ (resp. ε₂) est le signe de la norme de α (resp. γ) :

L'élément β est bien de la forme m + √n avec m entier naturel tel que β.γ est un multiple de la norme de γ, car φ(α) est entier. Soit β'un élément vérifiant ces propriétés et de norme inférieure à β, l'égalité γ = α.β'/N(β') montre que β' est de norme supérieure à β. On en déduit que les normes de β et β' sont égales et son caractère minimal est vérifié. L'égalité (1) montre que φ(α), à un élément inversible près est bien l'image de φ(γ) par ψ. La proposition est démontrée.

On en déduit que la fonction ψ est une bijection de A - {0} dans A - {0}.

• Il existe une valeur j telle que la norme de α_j soit égale à un en valeur absolue :

Remarquons dans un premier temps que l'on peut définir α₀ comme égal à 1, car ψ(1) = α₁. Soit j la plus grande valeur tel que la suite d'éléments α₀, α₁, ... , α_j-1 ne contienne que des éléments de classes distincts par la relation d'équivalence R. Une telle définition possède un sens car les classes d'équivalences de norme inférieures à 2r sont en nombre fini, la suite des classes d'équivalence se répète donc nécessairement à partir d'un certain rang. La valeur α_j est dans la liste α₀, α₁, ... , α_j-1 à un facteur multiplicatif inversible près. Elle ne peut pas être égale à un élément pris dans α₁, ... , α_j-1 car un tel élément aurait deux antécédents ce que la dernière proposition à montré impossible. On en déduit que la classe de α_j est égal à celle de α₀. Il suffit de remarquer que la suite des valeurs (a_k) et (b_k) est strictement croissante pour conclure que la solution trouvée n'est pas triviale.

• La suite (α_j) forme un palindrome :

L'égalité ψ(1) = α₁ montre que ψoφ(α₁) est dans classe de φ(1) = 1. On en déduit que cl(α_j-1) = cl(φ(α₁)). L'égalité ψ(α₁) = α₂ montre que l' antécédent de la classe de φ (α₂) est la classe de φ(α₁) ce qui montre que cl(α_j-2) = cl(φ(α₂)). Une récurrence fondée sur ce principe permet d'établir la proposition.