On appelle mouvement brownien sur une variété riemannienne V le processus stochastique continu markovien dont le semigroupe de transition à un paramètre est engendré par
, où ΔV est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété V.
Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.
On le définit comme étant la solution Xt de l'équation différentielle stochastique suivante :
, où Bt est un mouvement brownien standard, et avec X0 une variable aléatoiredonnée. Le terme dBt traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme − Xtdt représente la force de frottement subie par la particule.
La formule d'Itô appliquée au processus etXt nous donne :
, soit, sous forme intégrale :
Par exemple, si X0 vaut presque sûrement x, la loi de Xt est une loi gaussienne de moyennexe− t et de variance1 − e− 2t, ce qui converge en loi quand t tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.
Marches aléatoires
On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), comme par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les xi sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :
Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple)
Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueura entre deux positions contigües situées sur le réseau :
de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée τ.
Il faut encore se donner un nombrep tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :
p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la droite à chaque instant ;
q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la gauche à chaque instant.
Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :
La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x(k) de la particule aux instants k, partant de la condition initiale x(0)=0.
Probabilités de transition conditionnelle
On définit la probabilité de transition conditionnelle :
comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant sτ sachant qu'elle était au site na à l'instant initial 0.
L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :
En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle P(x0 | x,t) doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :
la normalisation des probabilités totales :
la condition initiale :
où δ(x) est la distribution de Dirac.
La densité de probabilité de transition conditionnelle P(x0 | x,t) est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :
Moments de la distribution :
Posons x0 = 0 pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle P0(x,t) = P(0 | x,t) permet le calcul des divers moments :
La fonction P0 étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :
et en écrivant que :
On obtient explicitement :
On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :
![P(n|m,s+1) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \ + \ P(n|m-1,s) \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c1962a0570f739a072a91d95db7a7203_a2bc882ae67a98df08bc652b058496f5.png)
![P(n|m,s+1) \, - \, P(n|m,s) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \, + \, P(n|m-1,s) \, - \, 2 \ P(n|m,s) \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/2d4ab377d3fe32f133a429a78461d030_acbc948481ddc4f9db6aeeaa261c3b9b.png)
![P(x_0|x,t)\ = \ \frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \ \exp \, \left[ \ - \ \frac{(x-x_0)^2}{4 D t} \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4ef9103fd364124fb442ece5704cbc62_f9b6327e38697c5ebaa0618e2aa3724e.png)
![\langle \, x^n(t) \ \rangle \ = \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ x^{2n} \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2} \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2} \, \right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/0/05965e5ff539bd952bf459b51919f95e_71e26aa34b37b0df9b15621d07b9c519.png)
![\langle \, x^n(t) \ \rangle \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \, \right] \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\alpha} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/c/c7e7f082a6be250398c5c942fac6c510_cfce7635a4bce3836c70da16c661071b.png)
![\langle \, x^2(t) \ \rangle \ = \ - \, \sqrt{\alpha} \, \frac{d~}{d \alpha} \, \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right] \ = \ (- \, \sqrt{\alpha}) \, \times \, \left( - \, \frac{1}{2\alpha^{3/2}} \right) \ = \ \frac{1}{2 \alpha} \ = \ 2 D t](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/5f78ede57ea50823f63bdba87b681b37_eb822300ac078c272ea792b12fe516fc.png)
![\langle \, x^n(t) \ \rangle \ = \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ x^{2n} \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2} \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2} \, \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/05965e5ff539bd952bf459b51919f95e_71e26aa34b37b0df9b15621d07b9c519.png)
![\langle \, x^n(t) \ \rangle \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \, \right] \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\alpha} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c7e7f082a6be250398c5c942fac6c510_cfce7635a4bce3836c70da16c661071b.png)
![\langle \, x^2(t) \ \rangle \ = \ - \, \sqrt{\alpha} \, \frac{d~}{d \alpha} \, \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right] \ = \ (- \, \sqrt{\alpha}) \, \times \, \left( - \, \frac{1}{2\alpha^{3/2}} \right) \ = \ \frac{1}{2 \alpha} \ = \ 2 D t](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/5f78ede57ea50823f63bdba87b681b37_eb822300ac078c272ea792b12fe516fc.png)
