Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes.
La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :
entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.
Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n'a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné), de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s’expliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Dans un premier temps, Brown les attribua donc à une activité vitale. L'explication correcte du phénomène viendra plus tard.
Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope.
La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.
Quelques modélisations dans un espace euclidien
Équation de Langevin (1908)
Dans l'approche de Langevin, la grosse particule brownienne de massem animée à l'instantt d'une vitesse v(t) est soumise à deux forces :
une force de frottement fluide du type
, où k est une constante positive ;
Un bruit blanc gaussien η(t) est un processus stochastique de moyenne nulle :
et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :
Dans cette formule, Γ est une constante positive, et δ(t) est la distribution de Dirac.
Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégralefonctionnelle, encore appelée intégrale de chemin d'après Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite « mesure de Wiener ». Ainsi, on écrit :
où
est la dérivée de η par rapport au temps t.
Le principe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :
![\langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \int \left[ \, \mathcal{D}\eta(t) \, \right] \ \eta(t_1) \ \eta(t_2) \ \textrm{e}^{ - \frac{1}{2 \Gamma} \int_{t_1}^{t_2}\dot{\eta}^2(\tau) d \tau}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/e/e85cc21a084d55d7c5a30ab23c0b6313_b62c22cb144cfe85f7956be142ec4562.png)
![\langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \int \left[ \, \mathcal{D}\eta(t) \, \right] \ \eta(t_1) \ \eta(t_2) \ \textrm{e}^{ - \frac{1}{2 \Gamma} \int_{t_1}^{t_2}\dot{\eta}^2(\tau) d \tau}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e85cc21a084d55d7c5a30ab23c0b6313_b62c22cb144cfe85f7956be142ec4562.png)
