Nombre complexe fendu - Définition
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Histoire
L'usage des nombres complexes fendus remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses Tessarines. William Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes fendus pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford appela les éléments « motors ».
Dans le vingtième siècle, les nombres complexes fendus devinrent une plateforme commune pour décrire les transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.
En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques complexes fendues dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).
Plus récemment, le plan des nombres complexes fendus a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le caractère exotique des créations modernes.
Représentations matricielles
Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes fendus par les matrices. Le nombre complexe fendu
peut être représenté par la matrice
car
et
L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe fendue correspond à la multiplication des deux côtés par la matrice
La rotation hyperbolique par
En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale
Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par
qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.
Synonymes
- (Réel) Tessarines James Cockle 1848
- (Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
- numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
- double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
- anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
- nombres perplexes P. Fjelstad 1986
- nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
- nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
- nombres complexes fendus B. Rosenfeld 1997
