Notations delta en sciences - Définition

Introduction

Les symboles Δ (lettre Delta majuscule), d (lettre d minuscule), δ (lettre delta minuscule) et (symbole d rond) sont très utilisés en sciences. Ils correspondent à une même notion de variations entre deux points ou plus particulièrement à la notion de différentielle. Cet article tente de résumer le rôle respectif et les différences entre chacune de ces notations. On rencontre également la lettre majuscule grecque Delta dans plusieurs autres situations en sciences (voir l'article spécifique).

Δ (delta majuscule)

Δ correspond à une variation au sens le plus général, c'est-à-dire à une différence entre deux quantités. Par exemple, si on mesure la taille (la hauteur H en cm) d'un enfant à deux âges différents, on pourrait constater qu'il est passé de 120 cm à 140 cm. On noterait alors : ΔH = 20 cm (l'unité est évidemment la même que celle des grandeurs comparées).

Par convention, le symbole Δ (ie. la lettre grecque delta majuscule) représente ce type d'écart dit global. Par exemple, en mathématiques, on noterait pour une fonction f(x) que Δf = f(b) - f(a), de sorte que Δf quantifie un écart entre deux valeurs de la fonction f, prise aux points b et a respectivement. On définit alors souvent la notion de taux d'accroissement à partir de cet écart global : que l'on peut également noter : T = Δf / Δx. Ce taux est sans unité (si f(x) et x ont la même unité) ; il s'agit d'une « pente moyenne » qui est d'ailleurs utilisée comme telle dans quelques cas pratiques. Par exemple, sur les routes, c'est la valeur en % indiquée les panneaux annonçant une côte (ou une descente) particulièrement marquée (le pourcentage est égal à la variation d'altitude pour une longueur horizontale parcourue donnée).

∂ (symbole d rond)

Une grandeur ne dépend pas nécessairement que d'une seule variable. Pour une grandeur multi-paramétrée, le symbole ∂ (prononcer « d rond ») représente une variation infinitésimale au sens du d, mais permet de souligner qu'il ne s'agit que d'une variation partielle, c'est-à-dire engendrée par la variation d'une seule des variables dont dépend la grandeur étudiée. En mathématiques, on associe à cette notation la notion de dérivée partielle. On pourra toujours par la suite s'intéresser à la dérivée totale, c'est-à-dire à la variation de la grandeur étudiée lorsque toutes les variables dont elle dépend connaissent une variation infinitésimale.

Prenons par exemple un récipient contenant de l'eau, et exposé au Soleil. Admettons qu'il perd par évaporation E = 10 mℓ/min. Toutefois, on le remplit en même temps avec un débit de A = 30 mℓ/min. Le volume total dépend donc de deux variables, l'évaporation et l'ajout d'eau — qui ici varient à un rythme connu et constant, mais ce n'est pas toujours le cas. Le volume total d'eau V en fonction du temps (« au cours du temps ») s'exprime mathématiquement par la relation : V = 30t - 10t = (A-E)t. Puisque les débits sont exprimés pour une minute, raisonnons sur cet intervalle de temps : en une minute, le débit équivalent D est donné par la relation : D = A-E = 30-10 = 20 mℓ/min. Somme toute, D ne dépend que du temps.

Si maintenant, les débits d'évaporation (E) et d'ajout (A) ne sont plus constants, mais varient au cours du temps, alors le débit équivalent va nécessairement varier au cours du temps. Par exemple, si A augmente de 1 mℓ/min tandis que E reste constant, alors D augmentera de 1 mℓ/min. On note alors ∂D/∂A = 1 car l'augmentation de D est égale à l'augmentation de A, ce qui se note dD = 1·dA = (∂D/∂A)·dA. Dans cette dernière écriture, le facteur 1 représente bien ∂D/∂A. De même, si c'est cette fois E qui augmente de 1 mℓ/min tandis que A reste constant, alors D diminue de 1 mℓ/min (car E est une perte par évaporation). On noterait alors : ∂D/∂E = -1 et dD = -1·dE. On a ici définit des variations partielles de D : variations de D selon la variation de A d'une part et selon la variation de E d'autre part.

Si maintenant, A et E varient tous deux en même temps sur un tout petit instant, la variation totale de D (toujours notée dD, d droit car totale) est évidemment la somme des deux effets :
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La notation ∂D signale une variation infinitésimale et partielle de la fonction D, engendrée par l'évolution d'une seule des variables dont dépend D. On la distinguera bien de la notation dD qui représente la variation infinitésimale totale de D, engendrée par toutes les évolutions partielles.

Si la différentielle dD peut se manipuler seule comme ci-dessus, cela n'est plus possible pour la différentielle partielle ∂. Elle se présente toujours sous la forme d'un ratio de deux termes (par exemple ∂D/∂A) : ce n'est toutefois pas à proprement parler une fraction, puisqu'on ne peut en séparer les deux éléments ! On ne peut pas non plus « simplifier par 1/∂A » dans une équation. Rappelons qu'il existe autant de dérivées partielles ∂D que de variables pour D. La notation ∂D seule n'aurait donc aucun sens.