Polynôme minimal d'un nombre algébrique - Définition
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Introduction
En mathématiques, le polynôme minimal d'un nombre algébrique est une notion dérivée de l'algèbre linéaire, elle est à la base de deux théories.
La théorie classique de Galois a pour champs d'étude certains corps commutatifs, construits par des extensions finies de corps initiaux comme un corps fini ou celui des nombres rationnels. Le polynôme minimal fournit une méthode naturelle pour construire de telles extensions. Ses racines sont utilisées pour élucider les propriétés d'une notion fondatrice, le groupe de Galois. Un théorème clé, comme celui de l'élément primitif s'exprime en termes de polynôme minimal.
La théorie algébrique des nombres étudie les entiers algébriques. Ils se définissent à l'aide d'un polynôme minimal. Son analyse permet d'expliciter les propriétés d'outils de l'arithmétique comme le discriminant d'un anneau, la norme d'un nombre algébrique ou la forme trace. Les propriétés d'un polynôme minimal d'un entier algébrique sont utilisées pour la démonstration de nombreux résultats, comme la structure du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet. Un exemple relativement simple d'utilisation est celui des corps quadratiques, cadre d'étude des nombres algébriques inclus dans une extension quadratique.
Il existe en algèbre linéaire une notion connexe, appelée polynôme minimal d'un endomorphisme.
Définition
Ici K désigne un corps et L une extension de K, c'est-à-dire un corps contenant K. Les lettres C, R et Q désignent respectivement les corps des complexes, réels et rationnels.
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- Soit l un élément de L, le polynôme minimal du nombre l est, s'il existe, le polynôme unitaire de plus bas degré à coefficients dans K admettant l pour racine.
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- Un élément l de L est dit algébrique sur K si et seulement s'il possède un polynôme minimal.
Le nombre π + i de l'ensemble C est algébrique si C est considéré comme une extension de R. En effet, son polynôme minimal existe et est égal à : X2 -2π X + π2 + 1. Ferdinand von Lindemann montre que π n'est pas un nombre algébrique sur le corps des rationnels. En conséquence, π + i n'admet pas de polynôme minimal dans Q. En revanche, i l'unité imaginaire et √2 possèdent des polynômes minimaux dans Q, ils sont respectivement égaux à X2 + 1 et X2 - 2.
Théorie de Galois
Propriétés élémentaires
Ici K est un corps, L une extension de K et m un élément de L.
La structure euclidienne de K[X] permet d'établir une première propriété :
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- Soit P[X] un polynôme irréductible et unitaire de K[X], alors il existe une extension E de K de dimension le degré n de P[X] contenant un élément e tel que P[X] soit le polynôme minimal de E.
En effet, l'idéal engendré par P[X] est maximal car P[X] n'admet pas d'autre diviseurs que 1 et lui-même (à un facteur multiplicatif près). Le quotient de K[X] par cet idéal est un corps. Si e désigne la classe de X dans ce corps, e est racine de P[X]. La dimension de cette extension est égal au degré de P[X] car 1, e, ..., en-1 est une base du quotient. L'ensemble des polynômes à coefficients dans K admettant e pour racine est un idéal de K[X], il contient P[X]. Comme K[X] est principal car euclidien, l'idéal est engendré par un polynôme, de degré minimal, non constant et qui divise P[X]. Ce polynôme est nécessairement P[X] car il est irréductible.
L'algèbre linéaire permet d'établir quelques propriétés sur les polynômes minimaux. Supposons que m soit algébrique sur K, c'est-à-dire qu'il possède un polynôme minimal à coefficients dans K.
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- La dimension n de la plus petite extension contenant m est égal au degré du polynôme minimal M[X].
Il suffit de remarquer que 1, m, ..., mn-1 est une base de la plus petite extension.
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- Si m est élément d'une extension finie E sur K (c'est-à-dire de dimension finie), alors il admet un polynôme minimal à coefficients dans K.
L'application f de E dans E qui à x associe m.x est un endomorphisme. Tout endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension fini possède un polynôme minimal et en particulier f. Le polynôme minimal de l'endomorphisme f est par construction le polynôme minimal du nombre algébrique m.
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- Si m1 et m2 sont deux entiers algébriques, alors m1.m2 et m1 + m2 admettent des polynômes minimaux à coefficients dans K. Si m1 est inversible, alors m1-1 l'est aussi.
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- Soit E une extension finie de K et si m admet un polynôme minimal à coefficients dans E, il admet aussi un polynôme minimal à coefficients dans K.
Les deux dernières propriétés sont démontrés dans l'article détaillé.
Extension séparable
Un polynôme est dit séparé s'il admet autant de racines distincts que son degré. Il est donc scindé. S'il existe toujours une extension contenant toutes les racines d'un polynôme minimal, il n'est pas nécessairement séparable. Il peut en effet posséder des racines multiples. Tel n'est pas le cas si le corps est parfait, par exemple si K est fini ou de caractéristique nulle. Les extensions séparables possèdent des propriétés supplémentaires importantes. Dans le cas général la proposition suivante est vraie :
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- Soit E une extension finie de K et e un élément de E, le degré du polynôme minimal n de e à coefficients dans K divise la dimension de E.
Cette propriété est démontrée dans l'article Extension algébrique. Elle permet par exemple de démontrer que la trisection de l'angle ou la duplication du cube est en général impossible à la règle est au compas (cf l'article Tour d'extension quadratique).
Une propriété plus forte est vraie si l'extension est séparable :
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- Soit E une extension séparable et finie, alors il existe un élément e dont le polynôme minimal sur K est de degré la dimension de E.
L'élément engendre l'extension. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l'élément primitif.
Groupe de Galois
Le groupe de Galois G est formée de l'ensemble des automorphismes de L laissant invariants K. Si σ est un élément du groupe de Galois de L et P[X] le polynôme minimal de m, alors σ(m) est aussi une racine de P[X]. En effet, les propriétés de morphisme des membres du groupe de Galois montrent que :
![P[\sigma(m)] = \sigma_i(P[m]) = \sigma_i(0) = 0\;](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/252a30764b98d8faedb666cca50f9dff_ffefadaadfe343b2a3fec59d7820dc7d.png)
Les propriétés sont plus fortes si L est une extension galoisienne. Une extension galoisienne, si L est de dimension finie est une extension séparable et dont le groupe de Galois contient autant d'éléments que la dimension de L. Dans le cas général une extension galoisienne est une extension séparable tel que tout automorphisme d'une extension de L laissant invariant K laisse aussi globalement invariant L (c'est-à-dire que l'image de L par l'automorphisme est égal à L).
Supposons que L soit une extension finie galoisienne de dimension d en tant que K espace vectoriel et notons σ1, σ2, ..., σd les différents éléments de G. Alors le polynôme P[X] est scindé dans L et ne contient aucune racine multiple. De plus, pour toute racine r de P[X], il existe au moins un entier i entre 1 et d tel que σi(m) est égal à r. Plus précisément :
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- Il existe un entier n tel que l'égalité polynomiale suivante soit vraie :
![P^n[X] = \prod_{i=1}^d \Big(X - \sigma_i(m)\Big)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/3d4708a9df4a2cc59391e1de8dde2dd7_3e2b51cbd7e2d9a65fd423e2d5e3cde4.png)
La valeur n est égal au rapport entre l'ordre du groupe G et le degré de P[X].
En effet, le polynôme de droite est invariant par le groupe de Galois car la composée par un élément d'un groupe est une permutation des éléments du groupe. Les seuls éléments invariants par le groupe le Galois est K (cette propriété est démontrée dans l'article détaillé). Le polynôme de droite est un polynôme à coefficients dans K et annulant m donc multiple du polynôme minimal. Soit H le sous-groupe de G laissant invariant K[m], le plus petit corps de L contenant K et m et appelé corps de rupture. Soit K l'ensemble des classes à droite du quotient de G par H. Si K n'est en général pas un sous-groupe car H n'est pas nécessairement distingué, K forme une partition de H et si kr est le représentant d'une classe, alors la translation à gauche de kr est une bijection de H dans la classe de kr. Si Kr est un ensemble contenant un unique représentant pour chaque classe de K et n désigne l'ordre de H, on a :
![\prod_{h\in H}\prod_{k_r\in K_r} \Big(X - \sigma_{k_rh}(m)\Big)=\prod_{h\in H}\prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(\sigma_h(m))\Big)=\left(\prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(m)\Big)\right)^n=Q^n[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/b13cd40ada534b4033e85bf8050bf5af_1a3e28d546077a379cf7cb534446dac9.png)
On en déduit les égalités suivantes :
![\prod_{i=1}^d \Big(X - \sigma_i(m)\Big)=Q^n[X]\quad \text{si}\quad Q[X] = \prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(m)\Big)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4a85797d8d78d5fd8fac97d07d748524_54e17b0a1488632558f2ebe255ed46d6.png)
Puisque Qn[X] admet m pour racine, il en est de même pour Q[X]. On remarque que la composée du polynôme Q[X] par un élément du groupe de Galois donne un produit sur un autre jeu de représentants pour chaque classe de K et donc est invariant par cet élément. Comme Q[X] est invariant par tous les éléments du groupe de Galois, c'est un polynôme de K[X]. Toutes les racines de Q[X] sont des racines de P[X], le polynôme Q[X] divise P[X], le seul polynôme unitaire ayant m pour racine et divisant P[X] est P[X], on en déduit que les deux polynômes sont confondus.
