Représentation induite d'un groupe fini - Définition

Introduction

En mathématiques une représentation induite est une méthode de construction d'une représentation d'un groupe. Cet article traite le cas des groupes finis.

Une représentation induite permet de construire à l'aide d'un sous-groupe une représentation du groupe.

Définitions et exemples

Définitions

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, (V, ρ) une représentation de G dans un espace vectoriel sur un corps K de caractéristique différente de deux et tel que les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeur dans K. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes. H désigne un sous-groupe de G et (W, θ) une sous-représentation de la restriction de ρ à H.G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

Une première remarque est nécessaire avant d'établir la définition d'une représentation induite :

• Soit s et t deux éléments de G choisis dans une même classe à gauche modulo H, les espaces vectoriels image de W par ρ_s et ρ_t sont égaux.

En effet, il existe un élément u de H tel que t = su, et donc si o désigne la composition de fonctions, alors ρ_t est égal à ρ_soρ_u. Or l'image de W par ρ_u est égal à W, car ρ_u est un automorphisme laissant W stable.

Soit c une classe à gauche de G/H, W_c désigne l'image par ρ_s, où s est un élément de c, de W. Il devient alors possible d'exprimer la définition d'une représentation induite :

• La représentation (V, ρ) est dite induite par celle de (W, θ) si et seulement si V est la somme directe des espaces W_c quand c parcourt G/H. Dans ce cas, la représensation ρ est noté Ind (θ) ou encore Ind_H^G (θ) si un risque d'ambiguïté existe.

• Le caractère de ρ est appelée caractère induit de G par la représentation θ. Si χ désigne le caractère de θ, celui de ρ est noté Ind (χ) ou encore Ind_H^G (χ) si un risque d'ambiguïté existe.

Ces définitions possèdent un sens car il existe une et une unique représentation de G induite par θ. La démonstration est donnée à la suite dans cet article.

L'induction possède une réciproque, elle correspond à la restriction de la représentation au sous-groupe H. Cette restriction est noté Res (ρ) ou encore Res_H^G (ρ) si un risque d'ambiguïté existe.

Exemples

Les deux articles Représentations du groupe symétrique d'indice trois et Représentations du groupe des quaternions utilisent les représentations induites pour construire une représentation irréductible.

• Si H est le sous-groupe trivial de G, alors, la représentation induite sur G par la représentation triviale de H - qui est la seule représentation irréductible de H - est la représentation régulière.
• Soit (W, θ) la représentation régulière de H, La représentation régulière de G possède comme base canonique une base partionnée par les classes à gauche de H. En conséquence, la représentation régulière de G est induite par (W, θ).
• Si H=G, alors l'induction de H à G est une opération triviale.

Caractère

Formule du caractère

Soit (W, θ) une représentation de H sur le corps K, Ind (θ) ou Ind_H^G (θ) désigne la représentation induite de G par (W, θ), et ψ désigne le caractère de θ. Soit (V, ρ) une représentation de G sur le corps K, La restriction de cette représentation à H est notée Res (ρ) ou Res_H^G (ρ) et son caractère χ :

• Si s est un élément de G, ψ désigne le caractère de θ, la représentation de H, C un système de représentants des classes de conjugaison (c’est-à-dire un représentant dans chaque classe) et h l'ordre de H, alors la valeur du caractère χ au point t de G est donnée par la formule :

Il est possible de généraliser la fonction Ind_H^G à l'espace vectoriel des fonctions centrales de H de la manière suivante :

• Soit f une fonction centrale de H à valeur dans K et C un système de représentants des classes à gauche, alors la fonction Ind_H^G (f ) est définie de la manière suivante :

La démonstration est donnée dans l'article Réciprocité de Frobenius.

Réciprocité de Frobenius

Avec les notations du paragraphe précédent, la formule de réciprocité de Frobenius s'exprime par :

• Les deux scalaires suivants sont égaux :

Il est possible de généraliser la formule :

• Soit f une fonction centrale de H et g une fonction centrale de G, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Une autre manière d'exprimer cette propriété est la suivante :

• L'application Ind_H^G est l'adjointe de Res_H^G.