Symétrie - Définition

Les groupes de symétries

Le groupe des symétries est l’ensemble de tous les automorphismes du système. On a les propriétés suivantes.

Pour tous automorphismes t et u, t°u est un automorphisme et l’inverse de t est un automorphisme. La transformation identique (qui associe toujours x à x) est un automorphisme.

Autrement dit,

• si une structure est conservée par deux transformations effectuées séparément, elle est aussi conservée lorsqu'on effectue les deux transformations l'une à la suite de l'autre. C'est simplement la transitivité de l'égalité de la structure.
• si une structure est conservée par une transformation, elle est aussi conservée par la transformation inverse.
• en outre, il existe toujours une transformation identique, qui ne transforme rien, qui est donc toujours un automorphisme, puisqu'elle ne peut pas modifier quoi que ce soit.

Ces trois propriétés font de l'ensemble des automorphismes d'un système un groupe pour sa loi de composition interne naturelle.

La théorie des groupes est le principal outil théorique d’étude des symétries.

Qu’est-ce qu’un automorphisme ?

La notion d’automorphisme permet de préciser la définition des symétries. Que veut dire « sans modifier sa structure » ?

Un système est défini comme un modèle. Il faut déterminer

• l’ensemble U, fini ou infini, de ses éléments, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires. C’est le domaine d’existence associé au système ou à l’univers étudié.
• l’ensemble, en général fini, des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux.
• l’ensemble, en général vide ou fini, des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.

Une transformation géométrique est un automorphisme ou isomorphisme interne, pour une relation binaire R lorsqu’elle est une fonction inversible, ou bijection, de U dans U telle que

pour tout x et y, x R y si et seulement si tx R ty

Ce qui est vrai de x et y, de satisfaire la relation R, est également vrai de tx et ty.

x est semblable à tx, y à ty.

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément aux prédicats unaires et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat unaire P, une transformation t est un automorphisme lorsque

pour tout x, Px si et seulement si Ptx

Dans l’exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un automorphisme pour les propriétés (les prédicats unaires) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique.

Une transformation t est un automorphisme pour un opérateur binaire + lorsque

pour tous x et y, t(x+y)=(tx)+(ty)

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments. t est un automorphisme pour un opérateur unaire lorsque

pour tout x, t(-x) = -t(x)

Autrement dit, une transformation est un automorphisme pour un opérateur unaire, ou fonction d'une seule variable, lorsqu'elle commute avec lui. Lorsque des transformations commutent entre elles, elles sont toutes des automorphismes les unes vis-à-vis des autres, au sens où toute structure définie par une transformation est conservée par toutes les autres.

À un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z . On voit alors que la définition d’un automorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d’un automorphisme pour les relations.