Système binaire - Définition et Explications

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Décimal codé binaire (« binary coded decimal », ou BCD)

Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:

      1994 =  0001    1001   1001   0100            1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1      

Il présente l'avantage de simplifier la conversion avec la notation décimale.

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10n/4-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778n-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).

Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi (Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenue, à partir de son...) qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des...) plus efficace que le BCD.

Il existe des variantes du codage BCD :

  • code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en BCD et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111. Il permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0.
  • codage binaire excédant 3 qui consiste à représenter le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) à coder + 3.

Code de Gray ou binaire réfléchi

Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) est incrémenté ou décrémenté d'une unité.

Le code de Gray, également appelé binaire réfléchi, permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est incrémenté ou décrémenté d'une unité. Le nom du code vient de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature...) américain Frank Gray qui déposa un brevet sur ce code en 1953. Monsieur Louis Gros publia en 1872 un opuscule où ce code était présenté pour la première fois en lien avec un casse-tête. Monsieur Gros était clerc de notaire à Lyon.

codage binaire classique Codage Gray ou binaire réfléchi
0 0000 0 0000
1 0001 1 0001
2 0010 2 0011
3 0011 3 0010
4 0100 4 0110
5 0101 5 0111
6 0110 6 0101
7 0111 7 0100

Pour "calculer" directement le code de Gray d'un entier à partir de celui de son prédécesseur on peut procéder ainsi :

- lorsqu'il y a un nombre pair de 1 on inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) le dernier bit

- lorsqu'il y a un nombre impair de 1 on inverse le bit directement a gauche du 1 le plus a droite.

Le code de Gray est utilisé entre autres sur une Roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe...) codeuse.

Histoire

  • 1650 av J.C. - Multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) égyptienne
  • 1600 - Table de Thomas Harriot(1560-1621), première expression du binaire connue en France
  • 1605 - Francis Bacon utilise un code secret bilitaire (à deux lettres) pour protéger ses messages (il remplace les lettres du message (La théorie de l'information fut mise au point pour déterminer mathématiquement le taux...) par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre E → 5 → 00101 → codée AABAB
  • 1617 - Neper (Le neper (symbole Np), bien qu'en dehors du système international (SI), est en usage avec lui. Le...), dans son traité 'Rhabdologie', montre comment effectuer simplement les opérations sur des nombres binaires.
  • 1670 - Juan Caramuel y Lobkowitz fait la première étude raisonnée sur les numérations non décimales.
  • 1677 - Leibniz étudie le binaire comme mode de calcul des fractions décimales, De progresso dyadica est publié en 1679.
  • 1688 - La Chine s'empare des idées de Leibniz et redécouvre des travaux chinois datant de trois mille ans avant J.C.
  • 1703 - Leibniz publie son exposé sur le système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme...) devant l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche...) de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région...) dans les Mémoires
  • 1847 - George Boole (George Boole (2 novembre 1815 à Lincoln Royaume-Uni - 8 décembre 1864...) publie les premiers travaux de son Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) de Boole
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