Théorie de Galois à l'origine - Définition

Introduction

Le travail de Galois proprement dit est fondé sur l'étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd'hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l'intention de décrire les permutations des racines.

Les travaux de Galois ont de multiples applications et permettent de résoudre des problèmes mathématiques classiques, comme par exemple :

• quels sont les polygones qui peuvent être construits à la règle et au compas ?
• pourquoi ne peut-on pas faire la trisection d'un angle ? (à nouveau d'une manière classique, à la règle et au compas) ;
• et pourquoi n'y a-t-il pas de formule donnant les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à cinq n'utilisant que les opérations algébriques usuelles et les racines nièmes ? (Théorème d'Abel-Ruffini.)

Qu'entendons-nous exactement par « substitutions des racines d'un polynôme » ? Une telle substitution est une permutation des racines telle qu'une équation algébrique satisfaite par les racines reste satisfaite après que les racines ont été permutées. Ces permutations forment un groupe appelé groupe de Galois. Selon l'ensemble dans lequel nous prenons les coefficients de l'équation algébrique, nous obtenons un groupe de Galois différent.

Par exemple, considérons le polynôme

qui peut aussi s'écrire

;

Nous voulons décrire le groupe de Galois de ce polynôme sur le corps des nombres rationnels (i.e. les équations algébriques vérifiées par les racines auront des nombres rationnels comme coefficients). Les racines de ce polynôme sont :

, , , .

Il y a 24 façons possibles de permuter ces quatre nombres, mais toutes ces permutations ne sont pas éléments du groupe de Galois. Les permutations du groupe de Galois doivent préserver toute relation algébrique qui contient les variables a, b, c et d et les nombres rationnels. Une telle identité est par exemple a + d = 0.

Ainsi la permutation a→a, b→b, c→d et d→c ne convient pas, puisque a est envoyé sur a et d sur c, mais a + c n'est pas nul.

Un fait moins évident est que .

Ainsi, nous pouvons envoyer (a, b) sur (c, d), puisque nous avons aussi , mais nous ne pouvons pas envoyer (a, b) sur (a, c) parce que . D'une autre façon, nous pouvons envoyer (a, b) sur (c, d), malgré le fait que et . C'est parce que l'identité contient un nombre irrationnel, et ainsi nous n'avons pas besoin que les permutations du groupe de Galois la laissent invariante.

En résumé, nous obtenons que le groupe de Galois ne contient que les quatre permutations suivantes :

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

et le groupe de Galois est un groupe isomorphe au groupe de Klein.

Dans les approches modernes de la théorie de Galois, le formalisme a quelque peu changé, dans le but d'obtenir une définition plus précise et générale: on commence par définir la notion d'extension de corps L / K, puis son groupe de Galois comme le groupe de tous les automorphismes de corps de L qui laissent invariants tous les éléments de K. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons déterminé le groupe de Galois de l'extension de corps (a,b,c,d) / .

La notion de groupe résoluble en théorie des groupes nous permet de déterminer si un polynôme est résoluble ou non par radicaux, selon que son groupe de Galois est résoluble ou non. Par essence même, chaque extension de corps L / K correspond à un groupe quotient dans une suite de composition du groupe de Galois. Si un groupe quotient dans la suite de composition est cyclique d'ordre n, alors l'extension de corps correspondante est une extension par radicaux, et les éléments de L peuvent être exprimés en utilisant la racine nième de certains éléments de K.

Si tous les groupes quotients dans sa suite de composition sont cycliques, alors le groupe de Galois est dit résoluble, et tous les éléments du corps correspondant peuvent être obtenus en prenant répétitivement un nombre fini de fois, des racines, produits, et sommes d'éléments du corps de base (habituellement ).

L'un des grands triomphes de la Théorie de Galois fut la preuve que pour tout n > 4, il existe des polynômes de degré n qui ne sont pas résolubles par radicaux. Ceci est dû au fait que pour n > 4 le groupe symétrique contient un sous-groupe distingué, simple, et non cyclique.