Triangle - Définition et Explications

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Dans l'espace

polyèdres à faces triangulaires

Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces qui sont des triangles équilatéraux, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit faces, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est...) (vingt faces)...

Triangles isométriques, triangles semblables

On dit que deux triangles sont isométriques lorsqu'il existe une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) (c'est-à-dire une translation, une rotation, une symétrie ou une composée de telles transformations) qui transforme l'un en l'autre. Cela correspond à des triangles « superposables » . Cette première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) est équivalente à chacune des trois suivantes :

  • les trois longueurs des côtés du premier triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) sont les mêmes que celles du second (abrégé par CCC) ;
  • les deux triangles ont un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longeurs (abrégé par CAC) ;
  • les deux triangles ont un côté de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) compris entre deux angles de mêmes mesures (abrégé par ACA).

Deux triangles sont qualifiés de semblables lorsqu'il existe une similitude (qui est la composée d'une isométrie et d'une homothétie) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à :

  • les trois angles du premier ont mêmes mesures que ceux du second (abrégé par AAA), (en fait deux angles suffisent : le troisième s'en déduit)

ou encore à :

  • les trois longueurs des côtés du premier sont proportionnelles à celles du second.

Deux triangles isométriques sont toujours semblables. Deux triangles équilatéraux (non nécessairement isométriques) aussi.

Histoire

Problèmes R49->R55 du papyrus Rhind

Aucun document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) de l'Ancien Empire ne nous est parvenu. Mais l'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) monumentale des IIIe et IVe dynastie constitue une preuve remarquable que les égyptiens de cette époque détenaient des connaissances relativement élaborées en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), et en particulier dans l'étude des triangles.

figure du triangle représentée dans le problème R51 du papyrus Rhind

Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du papyrus Rhind, M4, M7 et M17 du papyrus de Moscou () et datant tous du Moyen Empire. Le problème R51 constitue, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

Énoncé du problème R51 du papyrus Rhind 
« Exemple de calcul d'un triangle de terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...). Si quelqu'un te dit: Un triangle de 10 khet sur son mryt et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...). Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent...). »

Le terme mryt signifie probablement hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.), ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle formé par ce côté et la hauteur, soit

A = \frac{base}{2}{mryt}

équivalente à la formule générale utilisée de nos jours :

S = \frac{ah}{2}

Le fait qu'un triangle de côtés 3-4-5 soit rectangle était également connu des anciens Égyptiens et Mésopotamiens.

Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...), dans le livre I de ses Éléments, vers 300 av. J.-C, énonce la propriété sur la somme des angles du triangle et les trois cas d'égalité des triangles (voir ci-dessus le paragraphe sur les triangles isométriques).

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