Superficie - Définition

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Introduction

La superficie du carré vaut ici 4.

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un appartement » alors qu'il faudrait parler de sa superficie). Le terme « aire » (du bas latin aera : « espace plan ») est utilisé en mathématiques, alors que « superficie » lui est préféré dans les autres domaines.

En pratique, la superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent...) est utilisée pour déterminer les prix d'un appartement, le rendement d'un terrain agricole ou la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de peinture à utiliser pour colorer une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...). L'unité d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.), dans le système international d'unités est le mètre carré (Le mètre carré (symbole m²) est l'unité d'aire du système international.) (m²), bien que l'hectare (1 ha = 10 000 m²) lui soit souvent préféré pour les terrains.

La détermination de la surface de terrains agricoles puis de figures abstraites a été à l'origine de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) et un moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif...) important du développement de cette science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) et des mathématiques en général.

Du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), l'aire d'une surface est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) positif qui répond à des propriétés d'additivité (si une surface est partagée, la somme des aires de chaque morceau est égale à la surface initiale) et de conservation par des isométries (déplacer une surface ne modifie pas son aire). L'aire des surfaces complexes est déterminée à l'aide de ces propriétés et du fait que l'aire d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de côté 1 est égale à 1 à l'aide d'un raisonnement par découpage, déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) et collage éventuellement complété par un passage à la limite ou d'autres méthodes, comme le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.).

Propriétés

La superficie S d'une surface plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...) suit quatre propriétés :

  1. La superficie d'une surface plane est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) positif ou nul.
  2. Une unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international....) étant choisie, la superficie du carré de côté 1 est égale à 1.
  3. La superficie est additive. Cela signifie que, les superficies de deux surfaces disjointes A et B étant données, la superficie de leur union est la somme de leurs superficies :
    S(AB) = S(A) + S(B).
    Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.
  4. La superficie est invariante par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...). Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie sa superficie.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) n supérieur à deux quelconque : si A1, A2, ... An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A1), S(A2), ... S(An), alors

S(A1A2 ∪ ... ∪An) = S(A1) + S(A2) + ... + S(An)

ce qui se note plus rigoureusement :

S\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n S(A_k).

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) dénombrable de surfaces planes (An)nN deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

S\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) = \sum_{k=1}^\infty S(A_k).

On parle alors de σ-additivité (« sigma-additivité »).

Problèmes d'aire

Quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...)

Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore (Ve siècle av. J.-C.) jusqu'à 1882, lorsque Ferdinand von Lindemann prouve que π est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

Confusion entre aire et périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...)

Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.

Le périmètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) planes. Il est fréquent de confondre ces deux notions ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations...) fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 0002. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) possédant une aire égale à un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du...) carré peut avoir comme dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (Ve siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes. Or, la production d'un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.

Isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de...), surface minimale (En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire. Ce...)

Des yeux à la surface d'un bouillon.

L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère (parfois appelé tétrapleure ou...) ou le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses...).

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski (En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la...) que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique (En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question...) et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...).

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) contenu dans une surface d'aire donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...). La réponse est la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...), ce qui entraîne notamment la forme des bulles de savon (Le savon est un objet liquide ou solide composé de molécules amphiphiles composées...).

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) isopérimétrique.

Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande. Pour un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est appelée en mathématiques problème de Plateau, elle nécessite des raisonnements de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...).

Grande surface

Une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux...) d'arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en...), large et peu épaisse.

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie possible se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une surface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante (Les plantes (Plantae Haeckel, 1866) sont des êtres pluricellulaires à la base de la...) verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...), pour favoriser la photosynthèse (La photosynthèse (grec φῶς phōs, lumière et...). Mais une grande surface du limbe foliaire (Le limbe d'une feuille de végétal désigne la partie de cet organe situé à la suite du...) de la feuille favorise également la transpiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins, cactus...) ont ainsi souvent des feuilles plus épaisses afin de diminuer leur superficie et donc lutter contre le dessèchement.

Premières étapes de la construction d'une éponge (Les éponges constituent l’embranchement (vraisemblablement paraphylétique) des Spongiaires...) de Menger.

Une autre stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie...) possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....) qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) fractal qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) en ayant des dimensions (longueur, largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...), profondeur) égales à celles du cube de départ. Des formes très découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, lorsqu'il s'agit de favoriser les échanges entre deux milieux : par exemple les poumons de mammifères (afin de maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit), les branchies, intestins...

La surface spécifique d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne...) est sa superficie par unité de masse : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et...), plus il est poreux. La surface spécifique est notamment une caractéristique physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) importante d'un sol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs et à les échanger avec des plantes.

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