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Superficie

Introduction

La superficie du carré vaut ici 4.

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un appartement » alors qu'il faudrait parler de sa superficie). Le terme « aire » (du bas latin aera : « espace plan ») est utilisé en mathématiques, alors que « superficie » lui est préféré dans les autres domaines.

En pratique, la superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un...) est utilisée pour déterminer les prix d'un appartement, le rendement d'un terrain agricole ou la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) de peinture à utiliser pour colorer une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...). L'unité d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.), dans le système international d'unités est le mètre carré (Le mètre carré (symbole m²) est l'unité d'aire du système international.) (m²), bien que l'hectare (1 ha = 10 000 m²) lui soit souvent préféré pour les terrains.

La détermination de la surface de terrains agricoles puis de figures abstraites a été à l'origine de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) et un moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue...) important du développement de cette science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce...) et des mathématiques en général.

Du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...), l'aire d'une surface est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel positif qui répond à des propriétés d'additivité (si une surface est partagée, la somme des aires de chaque morceau est égale à la surface initiale) et de conservation par des isométries (déplacer une surface ne modifie pas son aire). L'aire des surfaces complexes est déterminée à l'aide de ces propriétés et du fait que l'aire d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...) de côté 1 est égale à 1 à l'aide d'un raisonnement par découpage, déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture navale, le...) et collage éventuellement complété par un passage à la limite ou d'autres méthodes, comme le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.).

Propriétés

La superficie S d'une surface plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes...) suit quatre propriétés :

  1. La superficie d'une surface plane est un nombre positif ou nul.
  2. Une unité de longueur (Il existe de nombreuses unités de longueur ne faisant pas partie du système international. Certaines sont utilisées dans des domaines scientifiques pour simplifier les expressions, d'autres sont utilisées pour des raisons...) étant choisie, la superficie du carré de côté 1 est égale à 1.
  3. La superficie est additive. Cela signifie que, les superficies de deux surfaces disjointes A et B étant données, la superficie de leur union est la somme de leurs superficies :
    S(A ? B) = S(A) + S(B).
    Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.
  4. La superficie est invariante par isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.). Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie sa superficie.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A1, A2, ... An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A1), S(A2), ... S(An), alors

S(A1 ? A2 ? ... ?An) = S(A1) + S(A2) + ... + S(An)

ce qui se note plus rigoureusement :

S\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n S(A_k).

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs (u1, u2, … , un), qui...) dénombrable de surfaces planes (An)n? N? deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

S\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) = \sum_{k=1}^\infty S(A_k).

On parle alors de ?-additivité (« sigma-additivité »).

Problèmes d'aire

Quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance...)

Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore (Ve siècle av. J.-C.) jusqu'à 1882, lorsque Ferdinand von Lindemann prouve que ? est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

Confusion entre aire et périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage...)

Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.

Le périmètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une...) planes. Il est fréquent de confondre ces deux notions ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à...) fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 0002. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) possédant une aire égale à un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le...) carré peut avoir comme dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.), en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (Ve siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes. Or, la production d'un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.

Isopérimétrie, surface minimale (En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire. Ce minimum est réalisé sous une contrainte : un...)

Des yeux à la surface d'un bouillon.

L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) ou le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments...) à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation...).

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) contenu dans une surface d'aire donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.). La réponse est la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...), ce qui entraîne notamment la forme des bulles de savon (Le savon est un objet liquide ou solide composé de molécules amphiphiles composées de sels métalliques, spécifiquement d'hydroxyde de sodium ou d'hydroxyde de potassium, et...).

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout...) de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande. Pour un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est appelée en mathématiques problème de Plateau, elle nécessite des raisonnements de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.).

Grande surface

Une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À l'aisselle de la feuille se...) d'arbre (Un arbre est une plante terrestre capable de se développer par elle-même en hauteur, en général au delà de sept mètres. Les arbres...), large et peu épaisse.

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie possible se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une surface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante (Les plantes (Plantae Haeckel, 1866) sont des êtres pluricellulaires à la base de la chaîne alimentaire. Elles forment l'une des...) verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique,...), pour favoriser la photosynthèse (La photosynthèse (grec φῶς phōs, lumière et σύνθεσις sýnthesis, composition) est le...). Mais une grande surface du limbe foliaire (Le limbe d'une feuille de végétal désigne la partie de cet organe situé à la suite du pétiole. Il est en général très étalé, et comporte de nombreuses...) de la feuille favorise également la transpiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins, cactus...) ont ainsi souvent des feuilles plus épaisses afin de diminuer leur superficie et donc lutter contre le dessèchement.

Premières étapes de la construction d'une éponge (Les éponges constituent l’embranchement (vraisemblablement paraphylétique) des Spongiaires et sont des animaux sans système nerveux ni tube digestif. Leur corps...) de Menger.

Une autre stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie « conduire » - est :) possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de...) qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) fractal qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en ayant des dimensions (longueur, largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie...), profondeur) égales à celles du cube de départ. Des formes très découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, lorsqu'il s'agit de favoriser les échanges entre deux milieux : par exemple les poumons de mammifères (afin de maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit), les branchies, intestins...

La surface spécifique d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets. C'est donc une matière de base sélectionnée en raison de...) est sa superficie par unité de masse : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et artificiels au sein duquel se déroule la vie humaine. Avec les enjeux écologiques actuels, le terme...), plus il est poreux. La surface spécifique est notamment une caractéristique physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance...) importante d'un sol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs et à les échanger avec des plantes.

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