Triangle - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Propriétés élémentaires

Un quadrilatère, avec ses diagonales
Un tétraèdre

Un triangle peut être défini comme un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) à trois côtés, ou encore comme un polygone à trois sommets.

Après le point (Graphie) et le segment, le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) est la figure polygonale la plus simple. C'est le seul polygone qui ne possède pas de diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) propre. Dans l'espace, trois points non alignés définissent un triangle (et un plan). A contrario, si quatre points coplanaires forment un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère (parfois appelé tétrapleure ou...), quatre points non coplanaires ne définissent pas un polygone, mais un tétraèdre :

D'autre part, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polygone peut être découpé en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de triangles qui forment alors une triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de...) de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est n − 2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pick.

Longueurs des côtés et inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, dans un triangle ABC, les trois inégalités suivantes sont vérifiées :

BC\leqslant BA+AC ,\ AB\leqslant AC+CB \ \ et \ \ AC\leqslant AB+BC

Cette propriété est caractéristique des triangles. Réciproquement, étant donnés trois nombres réels positifs a, b et c, si les trois inégalités :

a\leqslant b+c ,\ b\leqslant a+c \ \ et \ \ c\leqslant a+b

sont vérifiées, alors il existe un triangle dont les côtés mesurent a, b et c.

Inversement, pour vérifier qu'il existe un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c, il suffit en pratique de vérifier une seule des trois inégalités, celle où le plus long côté est à gauche de l'inégalité (ainsi, si  max(a,b,c) = a , alors la seule inégalité à vérifier est :  a\leqslant b+c ).

Le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire permet de caractériser les points d'un segment : M est un point du segment [AB] si et seulement si : AM + MB = AB.

Enfin, la somme des longueurs des trois côtés d'un triangle est son périmètre.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle est 180°.

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° ce qui équivaut à π radians.

Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) avait démontré ce résultat dans ses Éléments (proposition I-32) de la manière suivante : traçons la parallèle à la droite (AB) passant par C. Étant parallèles, cette droite et la droite (AB) forment avec la droite (AC) des angles égaux, codés en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...) sur la figure ci-contre (angles alternes-internes). De la même façon, les angles codés en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs...) sont égaux (angles correspondants). D'autre part, la somme des trois angles de sommet C est l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) plat. Donc la somme des mesures d'un angle rouge, d'un angle vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde...) et d'un angle bleu est 180° (ou π radians). La somme des mesures des angles du triangle est donc 180°.

Cette propriété est un résultat de géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...). Elle n'est pas vérifiée en général en géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au...).

Propriétés métriques du triangle

Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est l'aire de la portion du plan qu'il enferme. Il existe plusieurs manières de la calculer, selon les informations dont on veut partir.

Calcul à partir d'une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.)

L'aire d'un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) il est immédiat que son aire est

S = \dfrac{ah}{2},

a est la longueur d'un côté différent de l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté...) et h la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).

À partir des longueurs des trois côtés

Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c et p le demi-périmètre [p=\dfrac{a+b+c}{2}], on peut utiliser la formule de Héron :

Aire = \dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

À partir des coordonnées des sommets

L'aire d'un triangle est calculé à partir d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...).

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} est la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) de leur produit vectoriel :

 S_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\| .

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

 S = \dfrac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|.

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) par A(xA,yA), B(xB,yB) et C(xC,yC), alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) du déterminant

S=\dfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| = \dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)( y_C-y_A) - (x_C-x_A) (y_B-y_A)|.

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

S=\dfrac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \dfrac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.

Cette méthode se généralise en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...). L'aire du triangle ABCA = (xA,yA,zA), B = (xB,yB,zB) et C = (xC,yC,zC) s'exprime comme

S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.

Relations métriques dans un triangle

Notations :

p désigne le demi-périmètre du triangle :  p = \dfrac12 (a+b+c) ;
S désigne l'aire de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) du triangle ;
R désigne le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) circonscrit ;
h désigne la hauteur relative au côté BC de longueur a ;
r désigne le rayon du cercle inscrit ;
  • S=\dfrac{ah}{2}=pr=\dfrac{abc}{4R} ;
  • S=\dfrac{1}{2}bc\,\sin\hat A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}   (Formule de Héron) ;
  • a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A   (Théorème d'Al-Kashi, ou Théorème de Pythagore généralisé) ;
  • \dfrac{a}{\sin\hat A}=\dfrac{b}{\sin\hat B}=\dfrac{c}{\sin\hat C}=\dfrac{abc}{2S}=2R (formule « des sinus ») ;
Avec \hat A + \hat B + \hat C = \pi, les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation en géodésie (La géodésie tire son nom des mots grecs γη (Terre) et...) et astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...).
Page générée en 0.070 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique