Une proposition est faite dans la sous-section citée sur l'énergie nucléaire d'utiliser d'une manière ou d'une autre l'énergie nucléaire dans le but d'obtenir ce genre de vitesse, en raccourcissant ainsi le temps de voyage d'un facteur 100 par rapport aux terriens.
Le but du présent article est de calculer les conséquences d'une telle entreprise, sur les bases mêmes de la relativité restreinte utilisée pour obtenir cet effet.
On n'entrera pas dans les détails de la technique à mettre en œuvre pour la réalisation, mais on se bornera à calculer l'énergie à utiliser dans le cas le plus favorable de rendement, et la perte de masse ainsi occasionnée. On supposera par la suite le lecteur familier avec les formules fondamentales de la relativité restreinte, sinon, on lui conseillera de sauter aux .
Si l'on considère le vaisseau de masse courante
dans son système inertiel instantané, et qu'on éjecte en un temps propre élémentaire
une certaine quantité de matière ou de rayonnement, le vaisseau va acquérir par réaction une impulsion
opposée à celle de ce qui est émis, et donc il sera accéléré de
.
Il va également perdre une énergie
opposée à celle de ce qui est éjecté. Or, il reste, après la génération de l'énergie, des résidus de réaction, que l'on doit éliminer pour alléger le vaisseau et faciliter les accélérations ultérieures. Le mieux est de les utiliser comme masse inerte de propulsion. Comme le jet émis contient cette matière, on a strictement, dans tous les cas,
. Posons simplement
, où
peut être considéré comme un rendement effectif. C'est en fait la vitesse relative des éjectats par rapport au vaisseau, rapportée à celle de la lumière, qui serait le maximum. Pour une source d'énergie nucléaire, de fission ou de fusion,
pourrait être de l'ordre de 1%, compte tenu de l'énergie dégagée et de la masse des résidus. Il serait encore mille fois plus faible pour des réactions de combustion chimique.
On a alors
, ou puisque
:
.
Pour passer aux formules globales, et non plus différentielles, nous devons tenir compte du fait que le système inertiel du vaisseau change tout le temps. Le plus commode est d'introduire le paramètre additif
du groupe de Lorentz à deux dimensions d'espace-temps. Il est usuel de le normaliser en notant la vitesse non-relativiste comme
, en sorte que le facteur de Lorentz
et l'accélération dans le système inertiel est
, ce qui donne tout de suite la proportionnalité.
On arrive enfin à la relation :
, ou en simplifiant :
.
Le rapport moyen entre le temps terrestre
et le temps propre
visé étant de 100, très arbitrairement, pour que le temps écoulé en années dans le voyage soit celui écoulé en siècles sur terre, il faut calculer la valeur de ce rapport moyen.
Le rapport instantané
. En intégrant sur
, on trouve
, d'où
.
Par résolution numérique, on trouve
. On a donc pour l'accélération aller seulement un rapport de masses entre le départ et le changement de signe de l'accélération de
. Cette dernière expression vaut 1457 dans le cas où ε = 100%, mais 2·10316 au cas où ε=1% !
Pour la mission complète, accélération-décération, aller-retour, il faut diviser la masse initiale 4 fois de suite par ce facteur, soit par un facteur global irréaliste de 4,5·1012 pour un rendement irréaliste de ε=100%, et quelque 101265 pour ε=1% …
La distance parcourue en accélération
, en supposant une accélération avec laquelle nous sommes familiers, soit
, serait donnée par
, soit de
, ou
temps-lumière, soit environ 700 années-lumière, puisque
an.
Donc, dans les conditions indiquées, on « pourrait » aller à environ 1400 années-lumière, mais il faudrait pour cela un temps propre de
ans, aller simple, soit 29 ans au total et 29 siècles pour les terriens qui attendent le retour de la mission.
