Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.
Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai quelle que soit la valeur de vérité de sa prémisse (hypothèse de base) car il se présente sous la forme d'une implication: si A est vraie alors B est nécessairement vraie. Il peut alors être utilisé pour démontrer d'autres propositions. Démontrer le théorème consiste à démontrer l'imposssibilité d'avoir à la fois A vrai et B faux.
Un théorème a généralement :
La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme " théorème ", n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.
Autre définition possible d'un théorème : " un énoncé dont on peut démontrer l’exactitude. "
La démonstration comprend :
Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques.
Une démonstration par l'absurde considérée comme l'une des plus belles par Paul Erdös est la démonstration de l'irrationalité de .
Par l'absurde, supposons donc que soit un rationnel. Il existe deux entiers p et q (strictement positifs) tels que
.
Quitte à simplifier par le PGCD de p et q, on peut supposer p et q premiers entre eux (la fraction p / q est dite irréductible).
En élevant au carré les deux membres, on obtient :
En multipliant par q2 les deux côtés, on trouve alors :
On en déduit que 2 divise p2=p×p et d'après le lemme de Gauss, puisque 2 est premier, il en résulte que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p=2k. On trouve alors en simplifiant par 2 :
Cette égalité montre, d'après le lemme de Gauss, que 2 divise q.
On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ, où l'on avait supposé p et q premiers entre eux. CQFD.
Dans son ouvrage " Grundlagen der Geometrie " David Hilbert donne une nouvelle forme à la géométrie et en pose ses fondements.
Rappelons quelques-uns des axiomes des fondements de la géométrie :
Démontrons le second théorème :
Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :
Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes) et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.