En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.
Une conjecture peut également être dénommée hypothèse ou postulat.
Quand il se trouve - après un travail mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) rigoureux de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) - qu'une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) est vraie, elle devient théorème et rejoint le royaume des faits mathématiques. Jusqu'à ce stade (Un stade (du grec ancien στ?διον stadion, du verbe ?στημι istêmi, « se tenir droit et...) ultime de véracité, les mathématiciens doivent donc faire extrêmement attention lorsqu'ils font appel à une conjecture dans leurs structures logiques et leurs démonstrations.
Par exemple, l'hypothèse de Riemann (L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa...) est une conjecture de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) des nombres qui énonce (entre autres choses) des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. Dans l'attente de sa preuve éventuelle, certains mathématiciens développent d'autres démonstrations qui reposent sur la vérité de cette conjecture. Cependant, ces " preuves " tomberaient en morceaux si cette hypothèse de Riemann se révélait fausse et les fait démontrés ne pourraient être tenus pour vrais si l'hypothèse se révélait indécidable. Il y a donc un intérêt mathématique majeur à démontrer la vérité ou la fausseté des conjectures mathématiques pendantes.
Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi...), qui réfuterait immédiatement la conjecture considérée. Par exemple, la conjecture de Syracuse (La conjecture de Syracuse ressemble à un jeu de calcul. On prend n’importe quel nombre entier plus grand que 1 (2, 3, 73, 153…); s’il est pair, on le divise par 2;...) - qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers - a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à 1,2 × 1012 (soit plus de mille milliard). Cependant, elle a toujours le statut de conjecture car il peut toujours exister un contre-exemple de valeurs qui pourrait être trouvées au dela de 1,2 × 1012 et qui infirmeraient son énoncé.
Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. Par exemple, l'hypothèse du continu - qui essaye d'établir la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une...) relative de certains ensembles infinis - s'est avérée indécidable à partir de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des axiomes généralement admis de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.). Il est donc possible d'adopter cette assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary), ou sa négation, comme nouvel axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en restant cohérent (comme nous pouvons également accepter le postulat de la parallèle d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la...) comme vrai ou faux).
Les conjectures célèbres comprennent à ce jour :
Jusqu'à sa preuve en 1995, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée "le dernier théorème de Fermat". Ce n'est qu'après sa démonstration par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) Andrew Wiles que cette conjecture devint théorème. La démonstration consista à prouver un cas particulier de la conjecture de Taniyama-Shimura, problème alors en attente de résolution pendant une quarantaine (La quarantaine (venant de l'italien : quaranta giorni, qui signifie 40 jours, ou bien du français : quarantaine de jours) est le fait de mettre à l'écart des personnes ou des animaux durant une...) d'années. On savait en effet que le dernier théorème de Fermat découlait de ce cas particulier. Le théorème complet de Taniyama-Shimura fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond, et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet.
La plus discutée actuellement, mais aussi la plus ancienne qui puisse être datée, est probablement la conjecture de Kepler. La preuve qui en été publiée dans le journal Annals of Mathematics a satisfait les experts à 99%. Une preuve satisfaisante à 100% reste encore à produire.
Un conjecture qui a résisté pendant 66 ans est le problème de Robbins. Son intérêt réside dans le fait que la seule solution qui en existe a été produite par un programme d'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant...), (voir W. McCune. Solution of the Robbins problem. J. Automated Reasoning, 19(3):263--276, 1997).
Le programme de Langlands est un enchaînement de grande envergure (L'envergure est la distance entre les extrémités des ailes. Le terme est valable pour définir un oiseau, un chiroptère, un avion (ou planeur).) qui vise l'unification des conjectures reliant différents champs des mathématiques : la théorie des nombres et la théorie de la représentation des groupes de Lie, certaines de ces conjectures ayant été depuis démontrées.