Ensemble des parties d'un ensemble

En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.

Définition

Soit E un ensemble. L'ensemble des parties de E est :

\mathcal{P}(E)=\{ A \mid A \subseteq E \}.

Il est noté \mathcal{P}(E) ou simplement P(E), voire \mathfrak{P}(E).

Dans la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle, c'est la...), de Zermelo et celle de Zermelo-Fraenkel, l'existence, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) E, d'un tel ensemble pour tout ensemble E est postulée par l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) de l'ensemble des parties.

Propriétés

Cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les...)

Cardinalité finie

Soit E est un ensemble de cardinal fini, card(E) = n. Le cardinal de \mathcal{P}(E) est fini. Comme chaque élément de E appartient ou n'appartient pas à un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) de E, on a :

\mathrm{card} \left( \mathcal{P}\left( E \right) \right)=2^n.

Cardinalité infinie

On a pour tout entier naturel n, n < 2n. Ce résultat se généralise en cardinalité infinie. Le théorème de Cantor (Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles, qui doit son nom au mathématicien Georg Cantor.) énonce que l'ensemble des parties d'un ensemble (fini ou non) a une cardinalité strictement supérieure à celle de l'ensemble de départ : il existe une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) d'un ensemble dans l'ensemble de ses parties (par exemple on associe à un élément le singleton auquel il appartient), mais aucune bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble...).

Tout ensemble de même cardinal que N, l'ensemble des entiers naturels, est dit dénombrable, et c'est le plus petit cardinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Cantor montre en particulier que P(N) n'est pas dénombrable, ce qui peut s'interpréter en disant que l'on ne peut " numéroter " de façon exhaustive les sous-ensembles de N. C'est-à-dire que, dès que l'on a une suite de sous-ensembles de N indexée par les entiers, on trouve forcément un sous-ensemble de N qui n'apparaît pas dans cette suite.

Quelle peut-être la cardinalité d'un ensemble de parties de N, c'est-à-dire d'un sous-ensemble de P(N) ? Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il...) pensait qu'elle ne pouvait être que finie, dénombrable, ou celle de P(N). C'est l'hypothèse du continu qui n'est ni démontrable ni réfutable dans la théorie des ensemble (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du...) ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment utilisée en mathématiques contemporaines. Bien que la...).

Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) de Boole

L'ensemble des parties de l'ensemble E, muni des opérations d'union, d'intersection et de complémentation, forme un exemple typique d'algèbre de Boole. On peut montrer,en particulier que toute algèbre booléenne finie est isomorphe à l'algèbre booléenne de l'ensemble des parties d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.). Cela n'est pas vérifié pour les algèbres booléennes infinies, mais toute algèbre booléenne infinie est une sous-algèbre d'une algèbre booléenne de l'ensemble des parties d'un ensemble.

Comme pour toute algèbre de Boole, on peut définir une structure d'anneau, en introduisant une opération définie à partir de la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au sud-ouest de...) et de l'intersection : la différence symétrique. L'ensemble des parties de l'ensemble E muni de la différence symétrique est un groupe abélien. L'élément neutre est l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Chaque sous-ensemble est son propre opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un...). Ce même ensemble est un semigroupe commutatif lorsqu'il est muni de l'opération d'intersection. On peut donc montrer (en utilisant les lois de la distributivité) que l'ensemble des parties d'un ensemble, muni de la différence symétrique et de l'intersection, est un anneau commutatif dont tout élément est idempotent (x2=x, ici le produit est l'intersection), c’est-à-dire un anneau de Boole (réciproquement à tout anneau de Boole on peut associer une algèbre de Boole).

Exemples

Soit E = {a,b,c} un ensemble de trois éléments. Les sous-ensembles de E sont :

  • \varnothing, l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.)
  • {a}
  • {b}
  • {c}
  • {a,b}
  • {a,c}
  • {b,c}
  • E = {a,b,c}

L'ensemble des parties de E est donc :

\mathcal{P}(E) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, E\}

Notation exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...)

En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) des ensembles, XY désigne l'ensemble des fonctions de Y dans X. Comme 2 peut être défini comme l'ensemble {0, 1} dans la construction des entiers naturels (Il existe plusieurs méthodes classiques de construction des entiers naturels mais celle des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple.) de von Neumann, 2E peut désigner l'ensemble des fonctions de E dans {0, 1}.

En associant une fonction de 2E avec l'ensemble antécédent de 1 par cette fonction, on établit une bijection immédiate entre 2E et \mathcal{P}(E), où chaque fonction est la fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) du sous-ensemble de \mathcal{P}(E) avec lequel il a été mis en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.).

Il peut donc arriver que l'on identifie 2E et \mathcal{P}(E).

Page générée en 0.129 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique