Loi de Biot et Savart - Définition et Explications

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La loi de Biot et Savart (1820) donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, au même titre que la loi de Coulomb pour l'électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre...).

Cas d'un circuit filiforme

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique (Un fil électrique, ou câble électrique est un organe fait d'un matériaux conducteur servant au...) ne possède qu'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...). C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) de section.

Loi de Biot & Savart

Notons \mathcal C la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) géométrique représentant le circuit filiforme, et soit S un point (Graphie) de cette courbe \mathcal C. On note \vec{dl} le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...) élémentaire tangent à la courbe \mathcal C au point S. Dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), le circuit parcouru par un courant continu (Le courant continu est un courant électrique indépendant du temps ou, par extension, un...) d'intensité I crée en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point M de l'espace \left( M \notin \mathcal{C} \right) le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4 \pi} \ \oint_{\mathcal{C}} \  \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}.

μ0 est une constante fondamentale (En physique, la notion de constante fondamentale peut prendre deux significations : cela peut...), appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation

On dit parfois que l'élément infinitésimal de longueur \vec{dl}, situé au point S et parcouru par le courant I, crée le champ magnétique élémentaire \vec{dB} situé au point M :

\vec{dB}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \ \frac{I \, \vec{dl} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Il importe de bien comprendre qu'il s'agit là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de...) de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...). En effet, le courant d'intensité I ne peut circuler que dans le circuit fermé complet \mathcal C, et seule l'intégrale curviligne complète possède un sens physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...).

Autres modélisations

Densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) surfacique de courant

Dans le cas d'une densité surfacique de courant \vec{j}_s existant sur la surface Σ, le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ =  \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_{S \in \Sigma} \frac{\vec{j}_s(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ d \Sigma

Densité volumique de courant

Dans le cas d'une densité volumique de courant \vec j existant dans le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) \mathcal V, le champ magnétique créé est :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_{S \in \mathcal{V}} \frac{\vec{j}(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ dV

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'Ampère (Ampère peut désigner :)

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée Γ quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :

\oint_{M \in \Gamma} \vec{B}(M) \cdot \vec{dM} \ = \ \mu_0 \ I_{interieur}

Iinterieur est l'intensité algébrique enlacée par la courbe Γ

Le cas d'une particule chargée

En remarquant qu'une particule ponctuelle de charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de...) q animée d'une vitesse (On distingue :) constante \vec v possède une densité de courant : \vec{j} \ =  \ q \ \vec{v}, la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) (en mouvement) au point S crée un champ magnétique au point M :

\vec{B}(M) \ = \ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec{v} \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3}

Attention : cette expression est en réalité une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...), qui n'est valide que pour des vitesse très petites devant la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...) dans le vide : v \ll c. L'expression exacte du champ magnétique crée par une charge en mouvement est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par la formule de Lienard-Wiechert.

Application à l'aérodynamique (L'aérodynamique est une branche de la dynamique des fluides qui porte principalement sur la...)

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique (La magnétostatique est l’étude du magnétisme dans les situations où le...) est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :

v \ = \ \frac{\Gamma}{4\pi d}

où :

Γ est l'intensité du vortex
d est la distance perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) entre le point et la ligne de vortex.

Pour une ligne de vortex de longueur finie :

v \ = \ \frac{\Gamma}{8 \pi d} \ \left[ \ \cos A - \cos B  \ \right]

A et B sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

Bibliographie

  • John D. Jackson ; Electrodynamique classique, Dunod (2001) ISBN 2100044117. La bible de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...), enfin traduite en français.
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