Magnétostatique - Définition

Introduction

Champ magnétique créé par un courant électrique

Champ magnétique créé par un aimant

La magnétostatique est l’étude du magnétisme dans les situations où le champ magnétique est indépendant du temps.

Plus spécifiquement, la magnétostatique s’attache à calculer les champs magnétiques lorsque les sources de ces champs sont connues. Il existe deux sources possibles pour les champs magnétiques :

• d’une part les courants électriques ;
• d’autre part la matière aimantée.

Relations locales

Champ magnétique créé par un assemblage d’aimants. Dans des situations complexes comme celle-ci, le champ est calculé en résolvant les équations de la magnétostatique à l’aide de méthodes numériques telles les différences finies ou les éléments finis.

Les relations fondamentales de la magnétostatique se déduisent des équations de Maxwell dans la matière en supprimant les dérivées par rapport au temps. Lorsqu’on supprime ces variations temporelles, les équations de l’électricité et du magnétisme se trouvent découplées, ce qui permet l’étude séparée de l’électrostatique et de la magnétostatique. Les relations fondamentales de la magnétostatique, écrites sous leur forme locale, sont :

où

• B désigne le champ magnétique, appelé parfois aussi induction magnétique ou densité de flux magnétique ;
• H désigne l’excitation magnétique, appelée parfois aussi champ magnétique ;
• j est la densité de courant électrique ;
• ∇ est l’opérateur nabla, qui est utilisé ici pour écrire la divergence (∇⋅) et le rotationnel (∇×).

Il faut noter ambiguïté de l’expression champ magnétique qui peut, suivant le contexte, désigner B ou H. Dans la suite de l’article, nous désignerons les champs explicitement par B ou H à chaque fois qu’il sera important de faire la distinction.

Aux relations ci-dessus, il faut ajouter celle qui relie B et H :

où

• M est l’aimantation du milieu considéré ;
• μ₀ est une constante fondamentale appelée perméabilité magnétique du vide.

On voit que la distinction entre B et H n’est vraiment utile que dans les milieux aimantés (où M ≠ 0). L’aimantation étant supposée connue, la relation ci-dessus permet de calculer très simplement B en fonction de H et réciproquement. Par conséquent, à chaque fois qu’on voudra calculer un champ magnétique, on pourra choisir de calculer indifféremment B ou H, l’autre s’en déduisant immédiatement. Ces deux choix correspondent à deux approches des calculs magnétostatiques :

• l’approche ampérienne ;
• l’approche coulombienne.

Approche coulombienne

Champs magnétiques B et H crées par un barreau uniformément aimanté. L’aimantation est en bleu. En haut : dans l’approche ampérienne, les courants liés ∇×M (en mauve) créent un champ B (en rouge) similaire au champ créé par une bobine. En bas : dans l’approche coulombienne, les charges magnétiques -∇⋅M (c.-à-d. les pôles de l’aimant, en cyan) créent un champ H (en vert) similaire au champ électrique dans un condensateur plan. Les champs B et H sont identiques à l’extérieur de l’aimant mais diffèrent à l’intérieur.

Dans l’approche coulombienne on s’attache au calcul de H. Cette approche trouve ses racines dans les travaux de Coulomb sur les forces engendrées par les pôles des aimants. Elle est encore couramment employée par les magnéticiens. Il s’agit de résoudre les équations pour H :

où on a défini

Par analogie avec l’électrostatique, ρ_m est appelé densité de charge magnétique. Il faut remarquer qu’à la différence des charges électriques, le charges magnétiques ne peuvent être isolées. Le théorème de flux-divergence montre en effet que la charge magnétique totale d’un échantillon de matière est nulle. Un aimant a donc toujours autant de charge positive (pôle nord) que négative (pôle sud).

Charges magnétiques de surface

En pratique, la charge magnétique se trouve souvent sous forme de charge surfacique localisée sur les surfaces de l’aimant. Cette charge surfacique découle des discontinuités de la composante de M normale à la surface, où -∇⋅M est localement infini. Les surfaces ainsi chargées sont appelées pôles de l’aimant. La surface chargée positivement est le pôle nord, celle chargée négativement est le pôle sud. Sur ces surfaces, on remplace la densité volumique de charge par une densité surfacique :

Cette charge surfacique a pour effet d’induire une discontinuité de H :

où ΔM_⟂ est la partie de ΔM qui est normale à la surface. Cette discontinuité n’affecte que la partie de H normale à la surface. La partie parallèle de H reste quant à elle continue.

Relations intégrales

Comme dans le cas de B, ces relations découlent de l’application du théorème de Stokes aux relations locales. Elles permettent aussi de calculer H dans des cas de haute symétrie. L’intégration de ∇⋅H = ρ_m sur un volume fini V donne :

où l’intégrale de gauche, qui s’effectue sur la surface délimitant V, est le flux sortant de H. Le membre de droite n’est autre que la charge totale contenue dans le volume. L’autre relation s’obtient en intégrant ∇×H = j sur une surface ouverte S :

où l’intégrale de gauche est la circulation de H sur le contour de S. Ceci est une version du théorème d'Ampère écrite pour H.

En pratique, l’approche coulombienne est privilégiée dans les situations où le champ est engendré exclusivement par de la matière aimantée (des aimants), en l’absence de courants électriques. Nous nous placerons par la suite dans ce cas où on a ∇×H = 0. Dans le cas général où il y aurait à la fois des courants et des aimants, on calculerait séparément la contribution à H provenant des courants (par une approche ampérienne) et celle provenant des aimants (par l’approche coulombienne).

Potentiel scalaire

Puisqu’on a supposé ∇×H = 0 (pas de courants), on peut faire dériver H d’un potentiel scalaire φ par :

moyennant quoi φ est solution de l’équation de Poisson :

Le fait que H dérive d’un potentiel scalaire alors que B dérive d’un potentiel vecteur vaut souvent à l’approche coulombienne la faveur des numériciens.

Solution intégrale

On montre, de même qu’en électrostatique, que φ et H sont donnés par les intégrales :

Dans le cas, fréquent, où il y a des charges de surface, il faut ajouter à ces intégrales des contributions de surface qui s’obtiennent par la substitution