Magnétostatique - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Champ magnétique créé par un courant électrique
Champ magnétique créé par un aimant

La magnétostatique est l’étude du magnétisme (Le magnétisme est un phénomène physique, par lequel se manifestent des forces...) dans les situations où le champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux...) est indépendant du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...).

Plus spécifiquement, la magnétostatique s’attache à calculer les champs magnétiques lorsque les sources de ces champs sont connues. Il existe deux sources possibles pour les champs magnétiques :

  • d’une part les courants électriques ;
  • d’autre part la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) aimantée.

Relations locales

Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique créé par un assemblage d’aimants. Dans des situations complexes comme celle-ci, le champ est calculé en résolvant les équations de la magnétostatique à l’aide de méthodes numériques telles les différences finies ou les éléments finis.

Les relations fondamentales de la magnétostatique se déduisent des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) dans la matière en supprimant les dérivées par rapport au temps. Lorsqu’on supprime ces variations temporelles, les équations de l’électricité et du magnétisme se trouvent découplées, ce qui permet l’étude séparée de l’électrostatique et de la magnétostatique. Les relations fondamentales de la magnétostatique, écrites sous leur forme locale, sont :

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}

  • B désigne le champ magnétique, appelé parfois aussi induction magnétique ou densité de flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments...) magnétique ;
  • H désigne l’excitation magnétique, appelée parfois aussi champ magnétique ;
  • j est la densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface...) électrique ;
  • ∇ est l’opérateur nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction...), qui est utilisé ici pour écrire la divergence (∇⋅) et le rotationnel (∇×).

Il faut noter ambiguïté de l’expression champ magnétique qui peut, suivant le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...), désigner B ou H. Dans la suite de l’article, nous désignerons les champs explicitement par B ou H à chaque fois qu’il sera important de faire la distinction.

Aux relations ci-dessus, il faut ajouter celle qui relie B et H :

\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})

  • M est l’aimantation du milieu considéré ;
  • μ0 est une constante fondamentale (En physique, la notion de constante fondamentale peut prendre deux significations : cela peut...) appelée perméabilité magnétique du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

On voit que la distinction entre B et H n’est vraiment utile que dans les milieux aimantés (où M ≠ 0). L’aimantation étant supposée connue, la relation ci-dessus permet de calculer très simplement B en fonction de H et réciproquement. Par conséquent, à chaque fois qu’on voudra calculer un champ magnétique, on pourra choisir de calculer indifféremment B ou H, l’autre s’en déduisant immédiatement. Ces deux choix correspondent à deux approches des calculs magnétostatiques :

  • l’approche ampérienne ;
  • l’approche coulombienne.

Approche coulombienne

Champs autour et à l’intérieur d’un aimant
Champs magnétiques B et H crées par un barreau uniformément aimanté. L’aimantation est en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs...). En haut : dans l’approche ampérienne, les courants liés ∇×M (en mauve) créent un champ B (en rouge) similaire au champ créé par une bobine. En bas : dans l’approche coulombienne, les charges magnétiques -∇⋅M (c.-à-d. les pôles de l’aimant, en cyan) créent un champ H (en vert) similaire au champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...) dans un condensateur (Un condensateur est un composant électronique ou électrique dont l'intérêt de base est de...) plan. Les champs B et H sont identiques à l’extérieur de l’aimant mais diffèrent à l’intérieur.

Dans l’approche coulombienne on s’attache au calcul de H. Cette approche trouve ses racines dans les travaux de Coulomb sur les forces engendrées par les pôles des aimants. Elle est encore couramment employée par les magnéticiens. Il s’agit de résoudre les équations pour H :

\nabla \cdot \mathbf{H} = \rho_m
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}

où on a défini

\rho_m = -\nabla \cdot \mathbf{M}

Par analogie avec l’électrostatique, ρm est appelé densité de charge magnétique. Il faut remarquer qu’à la différence des charges électriques, le charges magnétiques ne peuvent être isolées. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de flux-divergence montre en effet que la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) magnétique totale d’un échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou...) de matière est nulle. Un aimant (Un aimant est un objet fabriqué dans un matériau magnétique dur, c’est-à-dire dont le...) a donc toujours autant de charge positive (pôle nord) que négative (pôle sud).

Charges magnétiques de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...)

En pratique, la charge magnétique se trouve souvent sous forme de charge surfacique localisée sur les surfaces de l’aimant. Cette charge surfacique découle des discontinuités de la composante de M normale à la surface, où -∇⋅M est localement infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). Les surfaces ainsi chargées sont appelées pôles de l’aimant. La surface chargée positivement est le pôle nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus...), celle chargée négativement est le pôle sud (Le pôle Sud est le point le plus au sud de la surface de la Terre, diamétralement...). Sur ces surfaces, on remplace la densité volumique de charge (En électrostatique, la densité volumique de charge, souvent notée ρ, est la quantité nette...) par une densité surfacique :

\sigma_m = (\mathbf{M}_1 - \mathbf{M}_2) \cdot \mathbf{n}_{12}

Cette charge surfacique a pour effet d’induire une discontinuité de H :

\Delta \mathbf{H} = -\Delta \mathbf{M}_\perp

où ΔM est la partie de ΔM qui est normale à la surface. Cette discontinuité n’affecte que la partie de H normale à la surface. La partie parallèle de H reste quant à elle continue.

Relations intégrales

Comme dans le cas de B, ces relations découlent de l’application du théorème de Stokes aux relations locales. Elles permettent aussi de calculer H dans des cas de haute symétrie. L’intégration de ∇⋅H = ρm sur un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) fini V donne :

\oint_{\partial V} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \rho_m dv

où l’intégrale de gauche, qui s’effectue sur la surface délimitant V, est le flux sortant de H. Le membre de droite n’est autre que la charge totale contenue dans le volume. L’autre relation s’obtient en intégrant ∇×H = j sur une surface ouverte S :

\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}

où l’intégrale de gauche est la circulation (La circulation routière (anglicisme: trafic routier) est le déplacement de véhicules automobiles...) de H sur le contour (COmet Nucleus TOUR (CONTOUR) est une sonde spatiale de la NASA faisant partie du Programme...) de S. Ceci est une version du théorème d'Ampère (Ampère peut désigner :) écrite pour H.

En pratique, l’approche coulombienne est privilégiée dans les situations où le champ est engendré exclusivement par de la matière aimantée (des aimants), en l’absence de courants électriques. Nous nous placerons par la suite dans ce cas où on a ∇×H = 0. Dans le cas général où il y aurait à la fois des courants et des aimants, on calculerait séparément la contribution à H provenant des courants (par une approche ampérienne) et celle provenant des aimants (par l’approche coulombienne).

Potentiel scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...)

Puisqu’on a supposé ∇×H = 0 (pas de courants), on peut faire dériver H d’un potentiel scalaire φ par :

\mathbf{H} = -\nabla \phi

moyennant quoi φ est solution de l’équation de Poisson :

\nabla^2 \phi + \rho_m = 0

Le fait que H dérive d’un potentiel scalaire alors que B dérive d’un potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) vaut souvent à l’approche coulombienne la faveur des numériciens.

Solution intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...)

On montre, de même qu’en électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre...), que φ et H sont donnés par les intégrales :

\phi = \frac{1}{4\pi} \int \frac{\rho_m}{r} dv
\mathbf{H} = \frac{1}{4\pi} \int \rho_m \frac{\mathbf{r}}{r^3} dv

Dans le cas, fréquent, où il y a des charges de surface, il faut ajouter à ces intégrales des contributions de surface qui s’obtiennent par la substitution

\rho_m dv \longmapsto \sigma_m dS
Page générée en 0.100 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique