Base de Hilbert
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Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe) de dimension finie.

Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre...), on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire finie des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une série dont les termes sont colinéaires aux vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) d'une série a ici un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) car un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en...) est en particulier un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) normé).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit H un espace de Hilbert de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) infinie, et F = (f_i)_{i\in I} une famille de vecteurs de H. On dit que F est une base de Hilbert de H si :

  • F est une famille orthonormale de H, c'est-à-dire si :
    • \forall (i,j)\in I^2\quad i\ne j \Rightarrow \langle f_i \mid f_j\rangle = 0;
    • \forall i\in I\quad \langle f_i \mid f_i\rangle = \Vert f_i \Vert^2 = 1.
      Dans ce cas la famille est nécessairement libre.
  • \forall x\in H,\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\quad\text{tel que}\quad \sum_{i=0}^{\infty} \lambda_i\cdot f_i = x (la convergence de cette série étant au sens de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen...) \Vert\;\Vert).

Dans ce cas, la famille (\lambda_i)_{i\in I} est unique pour chaque vecteur x ; ce sont ses coordonnées dans la base de Hilbert F. L'expression des coordonnées est \lambda_i = \langle x \mid f_i\rangle.

Propriétés

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) 1 – Une famille orthonormale de H est une base de Hilbert si et seulement si le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans H.

Ainsi une base de Hilbert de H n'est pas une base de H, mais une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) d'un sous-espace D, qui est dense dans H et qui permet donc d'approcher tous les éléments de H.

Théorème 2 (identité de Parseval) – Une famille orthonormale F = (f_i)_{i\in\N} de H est une base de Hilbert si et seulement si : \forall x \in H\ \sum_{i\in I} \bigl|\langle x \mid f_i\rangle\bigr|^2 = \Vert x \Vert^2.

Dans ce cas, on a aussi \forall x,y\in H\ \sum_{i\in I} \langle x \mid f_i\rangle\overline{\langle y \mid f_i\rangle} = \langle x \mid y\rangle.

C'est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme...), bien connue dans le cadre des séries de Fourier.

Un cas important est celui où l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) I est dénombrable. On dit alors que l'espace de Hilbert est séparable. On peut alors supposer que I=\mathbb{N} ou I= \mathbb{Z}. Le théorème 2 a pour conséquence que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace de Hilbert séparable est isomorphe à l'espace des suites (u_n)_{n\in N} telles que \sum_{n=0}^\infty|u_n|^2 converge.

Théorème 3 – Tout espace de Hilbert admet une base de Hilbert.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de ce dernier théorème nécessite l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) du choix.

On notera que dans un espace vectoriel de dimension infinie, une base de Hilbert B n'est jamais une base dudit espace vectoriel: un vecteur n'est pas en général une combinaison linéaire finie d'éléments de cette base B.

Exemples

L'exemple classique de base de Hilbert (et même l'origine du concept) est l'ensemble des fonctions trigonométriques cos(nx) et sin(nx), pour l'espace de Hilbert L2([0,2π]) (voir les espaces Lp). Cependant, en termes d'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations...) pure, la famille des fonctions cos(nx) et sin(nx) n'est pas une base car non génératrice. Précisément, c'est une base du sous-espace des polynômes trigonométriques. Notons qu'il est beaucoup plus commode de travailler avec des fonctions à valeurs complexes, et d'utiliser la base einx

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