Distance (mathématiques) - Définition et Explications

Définition

En mathématiques, on appelle distance sur un ensemble E une application d:E\times E\rightarrow\mathbb R^+ telle que:

\forall x,y\in E : d(x,y)=d(y,x) (symétrie)
\forall x,y\in E : d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y (séparation)
\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire)

Un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) muni d'une distance s'appelle un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...).

Remarque : dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'une distance, on demande généralement que l'ensemble d'arrivée soit \mathbb R^+ ; en réalité, on peut se contenter de supposer que c'est \mathbb R et invoquer la suite d'inégalités valable pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) couple (x,y) de réels :

0 = d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)\leq 2d(x,y)

en utilisant respectivement la séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque...), l'inégalité triangulaire puis la symétrie.

La distance est dite ultramétrique si de plus :

\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )

Un exemple de telle distance intervient de façon cruciale dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des valuation p-adiques. L'interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire dans un espace ultramétrique amène à dire que tous les triangles sont isocèles.

Distance algébrique

Soit deux points A et B d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) par lesquels passe une droite orientée (une droite munie d'un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), i.e. qui est générée par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) v non-nul). On appelle distance algébrique de A vers B le réel tel que :

  • la valeur soit la distance (définie ci-dessus) entre A et B
  • si la valeur est non-nulle, le réel soit positif dans le cas où le vecteur AB est dans le même sens que v, négatif sinon.

On peut démontrer que la distance algébrique de A vers B (notée da(A,B)) vaut :

d_a(A,B) = \frac{\vec{AB}.\vec{v}}{\|v\|}

Attention, la distance algébrique n'est pas une distance, vu qu'elle est antisymétrique :

da(A,B) = − da(B,A)

Distance entre deux ensembles

Soient E1 et E2 deux parties d'un espace métrique muni d'une distance d, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :

d(E_1,E_2) = inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in (E_1,E_2)\}

N.B. : Cette " distance " n'est pas une distance sur l'ensemble des parties de E au sens des axiomes définis plus haut. En particulier si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux.

Néanmoins, il est possible de définir une vraie distance entre les parties compactes d'un espace métrique. Pour cela, voir : distance de Hausdorff (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la distance de...).

Distance sur des espaces vectoriels

Distance de Manhattan (chemin rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert
Distance de Manhattan (Manhattan est l'une des cinq circonscriptions (borough) de la ville de New York (les quatre autres...) (chemin rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...), jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même...) et bleu) contre distance euclidienne en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde...)

Dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une structure mathématique qui développe des...) (E,\|\cdot\|), on peut toujours définir de manière canonique une distance d à partir de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...). En effet, il suffit de poser : \forall (x,y) \in E \times E : d(x,y) = \|y-x\|

En particulier, dans \mathbb{R}^n, on peut définir de plusieurs manières la distances entre 2 points, bien qu'elle soit généralement donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par la distance euclidienne (ou 2-distance). Soit deux points de E, (x1, x2, ... ,xn) et (y1, y2, ... ,yn), on exprime les différentes distances ainsi :

1-distance \sum_{i=1}^n |x_i-y_i| (distance de Manhattan)
2-distance \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2} (distance euclidienne)
p-distance \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}
∞-distance \lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p} = \sup_{i}{|x_i-y_i|}

La 2-distance permet de généraliser l'application du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...) à un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) n. C'est la distance la plus intuitive.

La p-distance est rarement utilisée en dehors des cas p = 1, 2 ou ∞. La 1-distance présente la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de sphères carrées (voir oxymore).

Distance sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...)

  • Voir : Distance du grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même...)

Distances entre deux permutations

Il est également possible de définir des distances entre des permutations. L'exemple suivant est très utilisé dans le réarrangement de génomes. Soit S un ensemble de permutations modélisant diverses opérations; alors la distance entre deux permutations π et σ est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'une séquence minimale formée du produit d'éléments de S telle que cette séquence transforme π en σ.

Ces distances peuvent également servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers algorithmes de tri, ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de comparaisons optimal par rapport à la mesure de désordre choisie.

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