Cône (géométrie)
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En géométrie, un cône désigne ou bien une surface réglée ou bien un solide

Surface

Un cône est une surface réglée définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) S appelé sommet et un point (Graphie) variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) décrivant une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :) fermée (c), appelée courbe directrice.

On parle aussi dans ce cas de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.).

Parmi ces surfaces coniques, la plus étudiée est le cône de révolution dans lequel la courbe directrice est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur...) de centre O situé dans un plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient...) à (SO). . ce cône est appelé de révolution car il peut être généré simplement par la rotation d'une droite (d) passant par S autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) d'un axe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône fait alors un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) fixe a avec l'axe de rotation.

C'est à partir de ce cône de révolution que les mathématiciens (dont Apollonius de Perga) ont classifié un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de courbes comme des coniques (intersection du cône et d'un plan) : cercles, ellipses, paraboles, hyperboles.

Dans le repère orthonormal (S, i, j, k), l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) du cône de révolution d'axe (Sz) et de sommet S est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par :

x^2+y^2=z^2(\tan\ a)^2

a est l'angle du cône, formé par l'axe et une génératrice.

Solide

cône de révolution et cône quelconque
cône de révolution et cône quelconque

On appelle aussi cône le solide délimité par la surface conique , le sommet S et un plan (P) ne contenant pas S et sécant à toutes les génératrices. La section du plan et de la surface s'appelle la base du cône.

Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) est perpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution ou cône circulaire droit. C'est le cône le plus connu (cornet de glace (La glace est de l'eau à l'état solide.), chapeau de clown). Dans ce cas, la distance séparant le sommet d'un point quelconque du cercle est constante et s'appelle l'apothème du cône.

Lorsque la courbe fermée est un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une...), on obtient une pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces triangulaires (n ≥ 3). En...).

Quelle que soit la forme du cône, son volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) est toujours

V = \frac{1}{3}B\times h

B est la surface de la base et h la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) du cône, c'est-à-dire la distance séparant le sommet S et le plan (P)

cône de révolution
cône de révolution

Dans le cas particulier du cône de révolution, les formules du volume V et de l'aire A (aire de la surface enfermant le cône) sont

V = \frac{1}{3}\pi r^2\times h
A = \pi r (r+a)\,

, où r\,est le rayon du cercle de base, h\, la hauteur du cône et a = \sqrt{r^2 + h^2} l'apothème du cône.

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