Quadrique - Définition et Explications

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En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de deuxième ordre via des variables spatiales (coordonnées)

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + Gx + Hy + Iz + J = 0

avec des réels A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Via des changements de repère, chaque quadrique (En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de deuxième ordre via des variables spatiales...) peut voir son équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) ramenée à une des formes normalisées. Il existe 16 formes normalisées, dont des formes dites dégénérées, comme l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), une droite, un plan ou encore la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres...) de deux plans sécants ou parallèles... Les plus intéressantes quadriques sont :

Ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.) x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,
Sphéroïde (Un sphéroïde ou ellipsoïde de rotation est une surface quadrique en 3 dimensions obtenue par rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes principaux. Si...) ou ellipsoïde de révolution (cas particulier d'ellipsoïde) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,
Sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...) (cas particulier de sphéroïde) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,
Paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne...) elliptique x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,
Paraboloïde circulaire x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,
Paraboloïde hyperbolique x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,
Hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de posséder un centre de...) à une nappe x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,,
Hyperboloïde à deux nappes x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = -1 \,,
Cône x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,,
Cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée...) elliptique x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,,
Cylindre circulaire x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,,
Cylindre hyperbolique x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \, ,
Cylindre parabolique \displaystyle{x^2 = 2 p y} ,

La détermination des formes normalisées se fait par l'intermédiaire de l'étude et de la réduction de la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient...)

Q(x,y,z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy

naturellement associée à l'équation.

En tant que forme quadratique, on peut associer Q à la matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) suivante :

M_Q=\begin{pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{pmatrix}

dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque la matrice est symétrique ; ces valeurs propres permettent une classification aisée des quadriques - selon la nature des autres termes de l'équation descriptive. Dans un cas non dégénéré, au moins l'une de ses valeurs propres n'est pas identiquement nulle. Notons les λ,μ,ν et supposons qu'on a déjà eu recours à une diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base...) de l'équation afin d'obtenir la forme équivalente :

Q(x,y,z) = λx2 + μy2 + νz2 + ax + by + cz + d

On note ici que si une des valeurs propres n'est pas nulle, on peut recentrer la coordonnée correspondante et faire ainsi disparaître le terme linéaire correspondant. En cas contraire, cela signifie que la quadrique est un paraboloïde ou un cylindre à base parabolique.

Classification en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...)

Classification en géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques...)

Classification en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.)

Quadrique en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) quelconque

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont \{x1, x2, \dots, xD\}, la quadrique générale est une hypersurface (En géométrie différentielle, une hypersurface est une généralisation en dimension supérieure des courbes en dimension 2 ou des surfaces en dimension 3.) définie par l'équation algébrique :

\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0

pour un choix spécifique de Q, P et R.

L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :

\sum_{i=1}^D \pm {x_i^2 \over a_i^2} =1

Et il existe de nombreux cas dégénérés

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