Espace affine
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Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) et d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), qui reposaient elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à redéfinir l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de...), en excluant ces notions et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui s'y rapportait. Le résultat fut une géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant...), où l'espace apparait comme une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant...), voisine de celle d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) qui en fut dégagée par la suite (donnant ainsi naissance à l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) linéaire).

Définitions

Il existe de nombreuses manières de définir un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...) (voir l'article " Structure affine "). Ici, nous supposons donnés :

  • un corps ( \mathbb K \,, + , x ) , noté " \mathbb K \, " en abrégé, d'éléments neutres " 0 " pour la loi additive et " 1 " pour la loi multiplicative ;
les éléments du corps sont habituellement appelés " scalaires " et notés par des lettres grecques minuscules : \lambda , \mu \, ,...
  • un espace vectoriel ( V \,, \ ^{\dot +}, · ) sur ce corps, noté " V \, " en abrégé, d'élément neutre " \vec 0 \, " ;
les éléments de l'espace vectoriel sont appelés " vecteurs " et notés par des lettres latines minuscules surmontées d'une flèche : \vec u , \vec v ,...
  • et un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) E \, non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), à partir duquel nous allons construire notre espace affine ;
ses éléments seront appelés " points " et notés par des lettres latines majuscules : A , B \, ,...
remarque : les couples d'éléments de E \,, éléments de E \times E \,, seront appelés " bipoints ", conformément à la tradition. De même, le premier élément d'un tel couple sera appelé " origine " du bipoint, et le second élément " extrémité " du bipoint.

Un espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) peut alors être défini comme le triplet   \mathcal E = ( E , V , \varphi ) \,   où \varphi : E \times E \to V \, est une application satisfaisant aux deux propriétés suivantes (appelées axiomes des espaces affines) :

  • (A1) Pour tout couple de bipoints tels que l'origine du second coïncide avec l'extrémité du premier, la somme des images par \varphi \, est égale à l'image, toujours par \varphi \,, du bipoint formé par l'origine du premier et l'extrémité du second. En d'autres termes :
\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \varphi ( A , B ) + \varphi ( B , C ) = \varphi ( A , C ) \,
  • (A2) Pour tout point (Graphie) et tout vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...), il existe un unique bipoint dont l'origine est le point considéré et dont l'image par \varphi \, est le vecteur considéré. En d'autres termes :
\forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \exists!\ B \in E /\ \ \varphi ( A , B ) = \vec v \,

Notation : pour tout couple de points ( A , B ) \, , et si toute confusion est impossible, on note " \overrightarrow{AB} \, " le vecteur \varphi ( A , B ) \,.

La propriété (A1) s'écrit alors :

\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \,

Cette propriété est souvent appelée Relation de Chasles.

La propriété (A2) dit tout simplement que lorsqu'on fixe un point P \, dans E \,, l'application \varphi_P \,:

\varphi_P : \ \begin{matrix} E & \longrightarrow & V \\ M & \longmapsto & \overrightarrow{PM} \end{matrix} \,

est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un...). Elle permet aussi de définir une opération (qui est plus utilisée comme une notation) correspondant à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...) d'un vecteur à un point :

\forall\ ( A , B ) \in E^2 , \forall\ \vec v \in V ,\ \ A + \vec v = B \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \vec v \,
.

La dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé.

L'espace vectoriel V \, est appelé direction de E \,

Propriétés élémentaires

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)). Soient A , B , C, D\, et A_1,...,A_n \, des points quelconques dans un espace affine \mathcal E \,. Nous avons alors :

  • \overrightarrow{AB} = \vec 0 \Leftrightarrow A = B \, ;
  • \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB} \, ;
  • \overrightarrow{A_1A_n} = \sum_{i = 1}^{n-1}  \overrightarrow{A_iA_{i+1}} (relation de Chasles généralisée)
  • \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \, (relation du parallélogramme).

Exemples d'espaces affines

  • Regardons le plan \mathbb R^2 comme un ensemble de points (sans structure particulière) mais aussi comme un \mathbb R-espace vectoriel.
Le triplet ( \mathbb R^2 , \mathbb R^2 , \varphi ) \,\varphi \, est définie par :
\varphi : \begin{matrix} \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 & \longrightarrow & { \mathbb R^2 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 ) , ( x_2 , y_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 - x_1 , y_2 - y_1 ) \end{matrix} \,

est un espace affine de dimension 2 (c'est le plan affine).

  • Le triplet ( \mathbb R^3 , \mathbb R^3 , \varphi ) \, avec :
\varphi : \begin{matrix} \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 & \longrightarrow & { \mathbb R^3 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 , z_1 ) , ( x_2 , y_2 , z_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 - x_1 , y_2 - y_1 , z_2 - z_1 ) \end{matrix} \,

est un espace affine de dimension 3.

  • De façon plus générale, si \mathbb K \, est un corps quelconque, l'espace affine canonique sur \mathbb K \, de dimension n est le triplet :
\mathcal A^n ( \mathbb K ) : = ( \mathbb K^n , \mathbb K^n , \varphi ) \,

\mathbb K^n \, est vu à la fois comme un espace de points et un \mathbb K \,-espace vectoriel, et l'application \varphi est définie par :

\varphi : \begin{matrix} \mathbb K^n \times \mathbb K^n & \longrightarrow & { \mathbb K^n \ \ \ } \\ ( ( x_1 , x_2 , \dots , x_n ) , ( y_1 , y_2 , \dots , y_n ) ) & \longmapsto & ( y_1 - x_1 , y_2 - x_2 , \dots , y_n - x_n ) \end{matrix} \,
  • De façon encore plus générale, si V est un espace vectoriel sur un corps \mathbb K \,, on définit l'espace affine canonique associé à l'espace vectoriel V par le triplet :
\mathcal A ( V ) := ( V , V , \varphi ) \,

V est vu à la fois comme un espace de points et un \mathbb K \,-espace vectoriel, et l'application \varphi est définie par :

\varphi(x,y) = \overrightarrow{xy} := y-x

Sous-espaces affines

Un sous-espace affine d'un espace affine \mathcal E = ( E , V , \varphi ) \, est un triplet ( F , W , \varphi ) \,F \, est inclus dans E \, et W \, est un sous-espace vectoriel de V \,, le tout satisfaisant aux deux propriétés suivantes :

  • (SA1)   Pour tout couple de points A \, et B \, de F \,,   le vecteur \overrightarrow{AB} \, appartient à W \, ;
  • (SA2)   Pour tout point A \, de F \, et tout vecteur \vec v\ \, de W \,, le point A + \vec v \, appartient à F \,.

Le sous-espace vectoriel W \, est appelé la direction du sous-espace affine. La dimension d'un sous-espace affine est tout simplement la dimension de sa direction.

On nomme Hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) affine un sous-espace affine dont la direction est un hyperplan de V.

Tout hyperplan affine peut se définir comme ensemble des points M\in \mathcal E vérifiant une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité....) f(M) = 0, où f est une forme affine, c'est-à-dire une application affine dont la partie linéaire est une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait...).

Notion de parallélisme

Dans un espace affine \mathcal E \,, deux sous-espaces affines ( F , W , \varphi ) \, et ( F' , W' , \varphi ) \, sont parallèles si l'un des sous-espaces vectoriels, W \, ou W' \,, est inclus dans l'autre.

Le célèbre cinquième postulat d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...) n'est alors qu'un résultat facile à démontrer à partir des définitions et des propriétés des espaces vectoriels :

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) (Cinquième Postulat D'Euclide) : Dans un espace affine \mathcal E \,, étant donné un point quelconque P \, et une direction W \,, il existe un unique sous espace affine passant par P \, et ayant W \, comme direction.

A voir aussi...

  • La notion d'application et de transformation affine,
  • La définition de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres...) affine,
  • La notion de repère affine.
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