Hypothèse du continu
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En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu, due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui l'ensemble des nombres réels. Reformulé sous une autre forme : Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) strictement plus grand (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) du cardinal) que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une " copie " de l'ensemble des nombres réels. Les mathématiciens lui vouent une importance certaine, puisqu'elle est le premier problème des 23 problèmes de Hilbert (Lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces...).

Cantor, en mettant en place la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle,...), définit les cardinaux des ensembles infinis, qu'il appela alors nombres transfinis, dans le but de comparer les différents infinis. Au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure de la formation de sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...), il en vint à comparer les cardinaux de \mathbb{N}, qui correspond au dénombrable, et de \mathbb{R}, qui correspond au continu. Ainsi, au travers de son hypothèse sur le continu, Cantor " hiérarchisa " ces différents transfinis, mais, il ne put démontrer son hypothèse. Et pour cause : cette hypothèse n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) usuelle (Paul Cohen 1963). Elle n'est d'ailleurs pas non plus réfutable (Kurt Gödel 1938) : on dit qu'elle est indécidable, ou qu'elle est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles usuelle.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) de l'hypothèse du continu

On définit \aleph_0 (aleph zéro) comme le cardinal de \mathbb{N}. Soit \aleph le cardinal de \mathbb{R} noté usuellement 2^{\aleph_0}.
Soit \aleph_1 le plus petit cardinal strictement supérieur à \aleph_0, l'hypothèse du continu déclare que 2^{\aleph_0} = \aleph_1 . En d'autres termes, cela signifie qu'il n'existe pas d'ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal de E n'est pas un entier naturel. On...) dont le cardinal serait strictement compris entre le cardinal de \mathbb{N} et celui de \mathbb{R}. On passe donc du dénombrable (ou discret), au continu, en faisant un seul bond.

Cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les ensembles, y compris des...)

Deux ensembles S et T ont même cardinalité lorsqu'il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X...) S\rightarrow T. Intuitivement, on peut associer chaque élément de S et de T de sorte chaque élément de S est associé à un unique élément de T et réciproquement.

Par exemple, les ensembles {avion, moto, sous-marin} et {air, terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...), eau} ont même cardinalité. En fait, la nature des objets mis en jeu n'a aucune importance ; leur symbolique ne sert qu'à aider le lecteur à suivre le discours.

Avec des ensembles infinis, certaines analogies peuvent tromper. Naïvement, il semble y avoir plus de nombres rationnels que de nombres entiers : un rationnel est le quotient de deux entiers. Cependant, cette vision est erronée, car il est possible d'énumérer tous les rationnels en les indexant par les entiers naturels. L'ensemble des nombres rationnels, noté \mathbb{Q}, est bijectable avec l'ensemble des nombres entiers, noté \mathbb{Z}. Un tel ensemble est dit infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) dénombrable.

L'ensemble des nombres réels, noté \mathbb{R}, est un exemple d'ensemble non-dénombrable : c'est un ensemble infini qui n'est pas bijectable avec .\mathbb{Z} Cantor en a proposé une première preuve utilisant l'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.). Pour cette raison, \mathbb{R} est appelé le continuum.

L'hypothèse du continu affirme que tout sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il...) du continuum est soit fini, soit infini dénombrable, soit a la même cardinalité que le continuum.

Indécidabilité (En logique mathématique, le terme décidabilité recouvre deux concepts liés : la décidabilité logique et la décidabilité algorithmique.)

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'ajout de l'hypothèse du continu à la théorie des ensembles, défini par exemple par les axiomes de Zermelo-Fraenkel, ne changeait nullement la consistance de cette théorie, même si on l'augmente de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui...) du choix.

Paul Cohen a montré en 1963 que l'hypothèse du continu n'était pas démontrable dans la théorie des ensembles basée sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles.

Commencée il y a une trentaine d'années, la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique,...) d'axiomes " naturels " à ajouter à la théorie de Zermelo-Fraenkel (axiomes de détermination, axiomes de grands cardinaux, etc.) va sans doute permettre, grâce aux travaux de Woodin, de résoudre prochainement l'hypothèse du continu... par la négative, ce que soupçonnait déjà Gödel.

Il n'y a pas de quoi être surpris de l'existence d'énoncés ne pouvant être démontrés ou infirmés à partir d'un système d'axiomes donné, c'est par exemple le cas du postulat d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la...) relativement à son système "axiomatique".

L'hypothèse du continu n'est pas sans rapport avec des énoncés d'analyse, ou de théorie de la mesure.

Historiquement, les mathématiciens en faveur d'une large classe d'ensembles rejettent l'hypothèse du continu, alors que ceux favorables au contraire à une ontologie ensembliste plus restreinte l'acceptent.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils...)

L'hypothèse généralisée du continu déclare qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre \aleph_\alpha et 2^{\aleph_\alpha}, α parcourant les ordinaux et 2^{\aleph} étant le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal \aleph.

On aurait alors 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1} : il n'y aurait rien entre un cardinal et l'ensemble de ses parties, à bijection près. Cette hypothèse est aussi un indécidable d'après les travaux de Gödel et Cohen.

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