Mathématiques financières
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Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent principalement des outils issus de la théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la...), du calcul stochastique (Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des...), des statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...) et du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). Historiquement, il est possible de faire remonter la naissance de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) moderne des marchés financiers à l'étude du problème d'évaluation des options.

Nature aléatoire des marchés

L'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré...) empirique du cours des actifs financiers montre que ceux-ci ne sont pas déterminés de façon certaine par leur histoire. En effet, les nombreuses opérations d'achat ou de vente ne sont pas prévisibles, font souvent intervenir des éléments n'appartenant pas à l'historique et modifient le cours de l'actif. Celui-ci est donc souvent représenté par un processus chaotique. Benoit Mandelbrot a établi par des considérations statistiques qu'un modèle aléatoire ordinaire, par exemple gaussien, ne pouvait convenir. L'aléa reste cependant souvent modélisé par un mouvement brownien, bien que des modèles plus élaborés (par exemple, le modèle de Bates) tiennent compte de la non-continuité des cours (présence de sauts dûs à des chocs boursiers), ou de la non-symétrie des mouvements à la baisse et à la hausse.

Voir : Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de l’information,...) & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.

Hypothèse de non arbitrage

L'une des hypothèses fondamentales des modèles usuels est qu'il n'existe aucune stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie « conduire » - est :) financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée absence d'opportunités d'arbitrage, et est justifiée par l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.

Hypothèse de complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui...) des marchés

Une autre hypothèse, beaucoup plus remise en question, est que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le terme est employé dans les...) à venir peut être répliqué exactement, et quel que soit l'état du monde (Le mot monde peut désigner :), par un portefeuille d'autres actifs bien choisis. Les modèles ne comprenant pas les hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés sont dits modèles de marchés imparfaits.

Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) Martingale (Une martingale est une technique permettant d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu. Le principe dépend complètement du type de jeu qui en est la cible, mais le terme est accompagné d'une aura...)

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou " probabilité risque-neutre " telle que le processus de prix des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interprêter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre: aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

Un processus stochastique est une martingale par rapport à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) d'information si son espérance en date t conditionnelle à l'information disponible en date s < t est égale à la valeur du processus en date s, c'est-à-dire qu'un processus est une martingale si l'espérance conditionnelle de A(t) en date s est de A(s) (i.e : \mathbb{E}\left[A_t|\mathcal{F}_s\right]=A_s).

Le problème d'évaluation des produits dérivés

L'évaluation (on dit aussi pricing ou, à tort, valorisation qui signifie "augmenter la valeur") des produits dérivés se ramène souvent au calcul du prix aujourd'hui d'un actif dont on ne connait le prix qu'à une date future. Il se ramène donc au calcul d'une espérance conditionelle. Le Modèle Black-Scholes (Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du...) est un exemple de solution analytique au problème d'évaluation des options d'achat (call) ou de vente (put) d'un actif sous jacent. Dans le cas d'un call, le problème s'écrit:C(t_0) = E^Q(e^{-\int_{t_0}^t r(s)ds}(S_t - K)_+| F_{t_0}), où St est le cours de l'actif, K est le prix d'exercice (ou Strike), r(s) est le taux d'intérêt instantané sans risque à la date s , t0 est la date "d'aujourd'hui", t est la maturité de l'option, c’est-à-dire la date à laquelle la décision d'exercice peut être prise. La formule de Black et Scholes est un exemple de solution analytique à ce problème, sous des hypothèses restrictives sur la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) du sous-jacent. Voir aussi option.

A noter qu'une obligation convertible peut s'évaluer comme un lot comprenant une option d'achat et une obligation classique.

Taux d'intérêt et dérivés de taux d'intérêt

Les modèles simples supposent que le taux d'intérêt, c'est-à-dire le loyer de l'argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.) est constant. Cette hypothèse est centrale, car sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, un portefeuille non risqué rapporte ce taux d'intérêt. Or cette approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être...) n'est évidemment plus admissible dès que le cours de l'actif est essentiellement lié au niveau du taux d'intérêt (par exemple, le cours des obligations à taux variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...), des swaptions...) ne peuvent être expliqués par un modèle à taux d'intérêt fixe.

On modélisera donc le taux d'intérêt par un processus aléatoire, auquel on demandera:

  • d'être au mieux compatible avec l'ensemble des courbes des taux observables
  • d'avoir des propriétés réalistes, comme de ne pas autoriser des taux négatifs, de rendre compte de l'effet de retour à la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) (mean reversion),...

Les travaux de Vasicek ont permis d'exhiber un processus, dérivé du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, cohérent, dont le loyer de l'argent ne dépend que du taux instantané (overnight) mais autorisant des taux négatifs. Des modèles plus élaborés (processus CIR, ...), faisant partie de la famille dite des modèles affines de taux court, ont permis de remédier à cette lacune, mais ne satisfont pas vraiment les spécialistes du fait de la difficulté d'interprétation financière des paramètres de diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...) et de leur incapacité à épouser exactement la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) des taux zéro-coupon (En finance, un taux zéro-coupon pour une date de départ et une durée données est le taux actuariel qu'aurait une obligation ou un swap de mêmes caractéristiques temporelles mais ayant un coupon de 0%.) spot. Heath, Jarrow et Morton ont proposé une famille de modèles cohérents, dont la dynamique ne dépend que d'une fonction facilement interprétable (la volatilité (En finance, la volatilité est une mesure de l'instabilité du cours d'un actif financier. Elle sert de paramètre de quantification du risque de rendement...) du taux forward), et capables de rendre compte de n'importe quelle courbe de taux (En finance, l'expression courbe de taux désigne la représentation graphique ou mathématique en fonction de leur durée des taux d'intérêt, constatés à un moment donné sur un marché...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.). Des modèles dits de marché (BGM ou Libor Forward) connaissent un certain succès dans l'explication du prix des caps et des floors.

Toutefois, à la différence du marché des dérivés d'options où le modèle de Black et Scholes, plus ou moins arrangé pour le débarrasser de ses imperfections (volatilité constante, taux d'intérêt constant,...) occupe une place prépondérante, aucun modèle de taux ne fait l'unanimité des spécialistes. Les taux d'intérêts sont en effet soumis à des pressions exogènes très importantes, qui rendent caduques très rapidement toutes les calibrations possibles. À l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris en sciences (« heure solaire »...) actuelle, les publications et les recherches à ce sujet sont abondantes.

Dérivés de crédit

Les dérivés de crédit sont des produits dérivés dont les flux dépendent d'événements de crédits intervenant sur un sous-jacent. Ces produits servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à prévenir la dégradation de la qualité de signature d'une contrepartie, c'est-à-dire son aptitude à assumer ses obligations de paiement ("CDS"'ou Credit default swap, "CLN" ou "Credit linked Notes"). Ils peuvent servir également à améliorer la qualité de signature d'une partie d'un panier d'actifs ("CDOs" ou "Collateralized debt obligations" ).

Dérivés climatiques

Les dérivés climatiques sont des produits financiers dont les flux dépendent d'un événement totalement indépendant de la structure des marchés financiers, lié à un événement climatique. Par exemple, un produit peut assurer à son détenteur une rente dans le cas où la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est...) relevée en un lieu fixé par contrat dépasse ou reste en dessous d'une température de référence considérée comme normale. Ces produits — récents — ont pour vocation de permettre à des entreprises touristiques ou agricoles de se prémunir contre des aléas climatiques. Ils s'apparentent donc à des produits d'assurance, négociés directement sur les marchés financiers. Peut-être plus que pour les autres, la valorisation de ces produits nécessite des outils statistiques.

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