Calcul stochastique - Définition

Introduction

Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités.

Applications

Le domaine d’application du calcul stochastique comprend :

• la mécanique quantique,
• le traitement du signal,
• la chimie,
• les mathématiques financières,
• la météorologie,
• et même la musique.

Filtrations

Une filtration F_t, est une famille de sous-tribus emboîtées de Ω, qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. Ainsi, une filtration est une famille de sigma-algèbres, indexée par le temps telle que si , ce qui reflète l'augmentation de l'information disponible.

Espérance conditionnelle selon une filtration

Processus aléatoires

Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de ou , souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastique). C'est donc une fonction de deux variables : le temps et l'état du monde ω. L'ensemble des états du monde est traditionnellement noté Ω. L'application qui à un ω fixé associe X(ω,t) , t variable, est appelée trajectoire du processus; c'est une simple fonction du temps (sans caractère aléatoire) qui représente la réalisation particulière du processus sous l'occurrence ω. Pour un t donné , X(ω,t) est une simple variable aléatoire dont la valeur exacte n'est connue qu'en t. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par . Il peut être défini comme l'unique processus W_t à accroissement gaussien tel que la corrélation entre W_t et W_s soit min(t,s). On peut également le voir comme la limite d'une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers 0.

Autre prescription

Il existe une autre prescription notable pour définir une intégrale stochastique, c'est la prescription de Stratonovich. L'intégrale de Stratonovich est définie comme la limite des sommes discrètes

La différence notable avec la prescription d'Itô est que la quantité n'est pas indépendante au sens des probabilités de la variable . Ainsi, contrairement à la prescription d'Ito, dans la prescription de Stratonovich on a

ce qui complique, de ce point de vue, certains calculs. Cependant l'utilisation de la prescription de Stratonovich ne choisit pas une direction du temps privilégiée contrairement à celle d'Itô ce qui implique que les processus stochastiques définis par l'intégrale de Stratonovich satisfont des équations différentielles stochastiques invariantes par renversement du temps. Pour cette raison, cette prescription est souvent utilisée en physique statistique.

Il faut noter cependant qu'il est possible de passer de l'une à l'autre des prescriptions en effectuant des changements de variables simples ce qui les rend équivalentes. Le choix de prescription est donc une question de convenance.

Processus d'Itō

Le processus d'Itō, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale stochastique d'Itō.

Intégrale d'Itô

Avant le calcul, indiquons que :

• Les majuscules telles que X notent les variables aléatoires.
• Les majuscules avec en indice un t (par exemple B_t) notent un processus stochastique qui est une famille de variables aléatoires indexée par t.
• Un petit d à gauche d'un processus (par exemple dB_t) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.

L'intégrale stochastique d'un processus X_t par rapport à un processus B_t est décrite par l'intégrale :

et est définie comme la limite en moyenne quadratique des sommes correspondantes de la forme :

Un point essentiel lié à cette intégrale est le lemme d'Itô.

La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.

Définition d'un processus d'Itô

Une fois précisée la définition choisie pour une intégrale stochastique, on définit alors un processus d'Itô comme étant une processus stochastique X_t de la forme

avec u et v deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus B_t et ω est une réalisation dans l'espace de probabilité sous-jacent.

Dans le formalisme du calcul différentiel avec la prescription d'Itô on note de façon équivalente la relation précédente comme