Modèle Black-Scholes
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Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type option européenne.

Importance historique et économique

Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) français Louis Bachelier (Louis Bachelier (Le Havre, 11 mars 1870 – Saint-Servan-sur-Mer, 26 avril 1946) était un mathématicien français.) avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très rapidement une influence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés financiers. Dès 1977, Oldrich Vasicek (Oldrich Vasicek (né en 1942) est un mathématicien et économiste tchèque.) s'en inspirait pour fonder la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) moderne des taux d'intérêt.

Merton et Scholes reçurent en 1997 le "prix Nobel d'économie" pour leurs travaux (Fisher Black était, lui, malheureusement mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général,...) en 1995).

Formule de Black-Scholes

La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'une option à partir des cinq données suivantes :

  • \mathcal{}S_0 la valeur actuelle de l'action sous-jacente
  • \mathcal{}T le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années)
  • \mathcal{}K le prix d'exercice fixé par l'option
  • \mathcal{}r le taux d'intérêt sans risque
  • \mathcal{}\sigma la volatilité (En finance, la volatilité est une mesure de l'instabilité du cours d'un actif financier. Elle sert de paramètre de quantification du risque de rendement et de prix d'un actif financier.) du prix de l'action

Le prix théorique d'une option d'achat (call), qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : ( \mathcal{S}_{T} - K)^{+}=\max(S_{T} - K  ; 0)

Le prix de l'option est donné par l'espérance sous probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant...) risque neutre du pay off terminal actualisé C = E[Payoff \times e^{-rT}], soit la formule de Black-Scholes :

C(S,K,r,t,\sigma) = S \mathcal{N}(d_1) - K e^{-rt}\mathcal{N}(d_2)

De même,le prix théorique d'une option de vente (put), de pay off ( K - \mathcal{S}_{T} )^{+}=\max(K-S_{T} ; 0) est donné par :

P(S,K,r,t,\sigma) = -S \mathcal{N}(-d_1) + K e^{-rt}\mathcal{N}(-d_2)

avec

  • \mathcal{N} la fonction de répartition (En probabilité, la fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel x associe) de la loi normale centrée réduite \mathcal{N}\left( 0,1 \right), c'est-à-dire \mathcal{N}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} du
  • d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{t}} \left[ \ln \left( \frac{S}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right]
  • d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t}

La formule de Black-Scholes repose sur l'hypothèse que les rendements de l'actif sous-jacent sont gaussiens, ou de manière équivalente que la valeur de l'actif suit une diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire...) brownienne géométrique.

Les quatre premières données sont évidentes, seule la volatilité \mathcal{}\sigma de l'actif est difficile à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...) sur la valeur de \mathcal{}\sigma à choisir.

On peut également appliquer la formule à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...). Étant donné le prix de l'option qui est coté dans les marchés, quelle valeur de \mathcal{}\sigma doit être choisie pour que la formule B-S donne exactement ce prix. On obtient ainsi la " volatilité implicite " qui a un grand intérêt pratique et théorique.

Modèle de Black-Scholes

La formule de Black-Scholes peut être démontrée rigoureusement si un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de conditions sont établies. On parle alors de modèle de Black-Scholes, ou on dit qu'on est dans le cas Black-Scholes. Les marchés financiers correspondent assez bien à ce modèle, mais pas exactement bien sûr et, en particulier, contrairement à l'hypothèse centrale du modèle, le temps n'y est pas continu. Il y a donc un certain écart entre ce modèle et la réalité, qui peut devenir important quand les marchés sont agités avec de fréquentes discontinuités de cours.

Les conditions du modèle sont les suivantes :

  1. le prix du sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique ;
  2. la volatilité est connue à l'avance et est constante ;
  3. il est possible d'acheter et de vendre le sous-jacent à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) moment et sans frais ;
  4. les ventes à découvert sont autorisées (où on emprunte une certaine quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) du sous-jacent pour la vendre) ;
  5. il n'y a pas de dividende ;
  6. le taux d'intérêt est connu à l'avance et est constant ;
  7. l'exercice de l'option ne peut se faire qu'à la date d'échéance, pas avant (option à exercice européen, dite option européenne).

Le modèle de Black et Scholes en pratique

La thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du thème qu'il...) fondamentale du modèle de Black et Scholes était que le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés.

L'utilisation du modèle et de la formule Black-Scholes est très répandue sur les marchés financiers, à tel point (Graphie) que certaines cotations se donnent en niveau de volatilité plutôt qu'en prix absolu. En effet, les autres paramètres du modèle (durée à l'échéance, prix d'exercice, taux d'intérêt sans risque et prix du sous-jacent) sont facilement observables sur les marchés.

Cependant, le modèle de Black et Scholes ne permet pas de modéliser précisément le monde (Le mot monde peut désigner :) réel. L'expérience montre qu'en réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité.

En pratique, la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) de volatilité (la volatilité implicite en fonction du prix d'exercice et de la maturité) n'est pas plate. Souvent, pour une maturité donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), la volatilité implicite par rapport au prix d'exercice a une forme de sourire (appelé le smile de volatilité) : à la monnaie (Le Théâtre de la Monnaie (De Munt en néerlandais) est la salle d'opéra de Bruxelles situé sur la place de la Monnaie.), la volatilité implicite est la plus basse et plus on s'éloigne de la monnaie, plus elle est élevée. On constate par ailleurs que le smile n'est souvent pas symétrique sur le marché des actions : plus haut du coté put que du coté call. Cela est dû au fait que les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse qu'au risque de hausse de l'action.

Pour un prix d'exercice donné, la différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie s'appelle le skew.

La surface de volatilité d’un sous-jacent évolue également dans le temps. Les acteurs du marché la réévaluent sans cesse, modifiant leur anticipation (Au sens général du terme, une anticipation correspond à une phase où sont développées des idées qui n’apparaîtront effectives — sous la forme de...) de la probabilité, pour chaque prix d'exercice et maturité, qu'une option ne finisse dans la monnaie.

Extensions de la formule

La formule de prix d'option ci-dessus est employée pour l'évaluation d'options européennes sur les actions ne payant pas de dividendes. Le modèle Black-Scholes (Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type...) peut être facilement étendu aux options sur des instruments payant des dividendes. Pour les options sur des indices (tels que le FTSE ou le CAC 40) où chacune des entreprises entrant dans son calcul peut payer un dividende une ou deux fois par an, il est raisonnable de supposer que les dividendes sont payés sans interruption.

Le paiement des dividendes au cours d'une période de temps \left[ t , t+\delta t \right] est alors noté :

q \, S_t \, dt

pour un q constant. Sous cette formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant...) le prix arbitrage-libre selon le modèle Black-Scholes peut être montré comme étant :

C(S,T)= e^{-qT}S_0 N(d_1) - e^{-rT}KN(d_2) \,
P(S,T)=e^{-rT}KN(-d_2)  - e^{-qT}S_0 N(-d_1) \,

où maintenant :

F = e^{(r-q)T}S_0 \,

est le prix modifié de l'avant qui se produit aux termes d1 and d2. Cette formule est generalement connue comme Black-Scholes-Merton.

Exactement la même formule est employée pour évaluer des options sur des taux de devises étrangères, sauf que maintenant q prend le rôle du taux d'intérêt sans-risque étranger et S le taux de change (Un taux de change est le cours (autrement dit le prix) d'une devise par rapport à une autre.) immédiat. C'est le modèle de Garman-Kohlhagen (1983).

C’est également possible d’étendre le cadre Black-Scholes aux options sur des instruments payant des dividendes discrets. C'est utile quand l'option est basée sur des actions simples.

Un modèle typique doit supposer qu'une proportion δ du prix (cours) d'actions ait payé comme dividende aux dates prédéterminées T1,T2....

Le prix des actions est alors modelé comme: S_t = S_0(1-\delta)^{n(t)}e^{\sigma W_t + \mu t}

n(t ) est le nombre de dividendes qui ont été payés au temps t .

Le prix d'une option d'achat sur des telles actions est encore:

C(S_0,K,r,T,q,\sigma) = FN(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2) \,
P(S_0,K,r,T,q,\sigma) = Ke^{-rT}N(-d_2)-FN(-d_1) \,

où maintenant :

F = S_0(1-\delta)^{n(T)}e^{rT} \,

est le prix en avance des actions payant du dividende.

Il est plus difficile d’évaluer des options américaines, et un choix des modèles est (par exemple) Whaley (modèle binomial d'options).

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