Démonstration (mathématiques élémentaires)
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...)

Démontrer une propriété c'est utiliser des théorèmes, des définitions ou des axiomes que l'on sait être vrais et quelques règles de logique élémentaire.

Elle expose une justification d’une propriété nouvelle algébrique, géométrique, numérique… Une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) est rarement achevée parce qu’on peut toujours retoucher son style de rédaction (plus ou moins télégraphique), sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) (profondeur des détails), les outils utilisés (parfois radicalement différents) voire simplement l’usage des règles logiques. Certains s’amusent même à s’interdire l’usage d’une lettre, d’une méthode ou même de mots pour écrire une preuve.

Du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) pédagogique, une démonstration sert à prouver aux élèves que le professeur a raison, mais aussi qu’un autre professeur que lui aurait aussi raison, à condition d’accepter les prérequis et la méthode de la preuve. Elle sert aussi à montrer aux élèves la liberté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) dans l’acte de rédiger et d’expliquer.

Quelques méthodes de démonstration

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), il existe plusieurs méthodes pour démontrer un théorème :

  • Par application directe du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...)
  • Par contraposée
  • Par l’absurde
  • Par analyse-synthèse
  • Par l’exemple

Par application directe du théorème

Si un théorème est sous la forme Si A alors B, s’il est vrai et si on montre que A est vraie alors B est vraie.

Ainsi pour démontrer que le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) ABC est rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.), avec AB=12, BC=13 et AC=5, on utilise le théorème réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de Pythagore :

  • On vérifie d’une part que AB²+AC²=12²+5²=144+25=169 et d’autre part que BC²=13²=169 donc AB²+AC²=BC²
  • Le théorème réciproque de Pythagore énonce que Si le carré du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des...) étant le premier côté cité)
  • On a bien A vraie et si A alors B vraie, on peut donc en conclure que B est vraie, soit que le triangle ABC est rectangle en A

Par contraposée

Pour démontrer que " Si A alors B " est vrai, il est souvent commode de démontrer que la contraposée est vraie

Par l'absurde

Pour montrer que A est vraie, on montre que si on suppose A est fausse on arrive alors à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

Exemple:

A : Il existe une infinité de nombres premiers

non A : Il existe un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de nombres premiers

On les note p_{1},p_{2} \dots p_n classés par ordre croissant Soit P=p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n+1. Il est plus grand que pn.

P n'est divisible ni par p1, ni par p_{2} \dots ni par pn

Or P est premier car tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre non premier admet au moins 1 diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n = d × q.) premier.

Mais il n'y a pas de nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par opposition,...) plus grand que pn d'après l'hypothèse. Donc A est vraie.

Par analyse-synthèse

On suppose le problème résolu, on en déduit les conditions nécessaires (phase d'analyse). On utilise ces conditions nécessaires pour résoudre le problème (phase de synthèse).

Exemple :

Toute fonction définie sur ? est la somme d'une fonction paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) et d'une fonction impaire

Analyse

Si f=p+i avec p fonction paire et i fonction impaire

Quel que soit x ∈ ?, f(x)=p(x)+i(x) et f(−x)=p(x)−i(x)
p(x)=(f(x)+f(−x))/2 et
i(x)=(f(x)−f(−x))/2

Synthèse

On considère les fonctions i et p définies par les formules précédentes

f=p+i
Quel que soit x ∈ ?, p(−x)=p(x) donc p est paire
Quel que soit x ∈ ?, i(−x)=−i(x) donc i est impaire

Par l’exemple

Pour montrer que pour un x, P(x) est vraie, on trouve une valeur a telle que P(a) soit vraie : on trouve un exemple.

Pour montrer que pour un x, P(x) est fausse on montre qu'il existe x tel que non P(x) est vraie. On trouve a tel que non P(a) soit vraie : un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un...).

Attention

Pour montrer que pour tout x, P(x) est vraie, un exemple ne suffit pas bien au contraire.

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