Théorie naïve des ensembles
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.) peut se définir en termes d'ensembles. Plusieurs théories des ensembles ont été développées, dont la théorie naïve des ensembles (Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.)...).

Présentation

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) naïve signifie théorie non formalisée, c'est-à-dire utilisant le langage courant pour parler des ensembles. Les mots et, ou, implique, ne ... pas, il existe, quel que soit ont leur signification usuelle.

La plus ancienne des théories des ensembles était une théorie naïve . Elle a été développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) à la fin du XIXe siècle, principalement par Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la...) et Frege, pour permettre aux mathématiciens de travailler avec des ensembles infinis cohérents.

Elle permettait cependant de définir un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) en compréhension à partir de n'importe quelle propriété sans aucune restriction, ce qui a mené à des antinomies, ou paradoxes logiques, tel le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit...) de Russell, ou sémantiques, tel le paradoxe de Berry (voir ci-dessous). La théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle, c'est la...) a été développée en réponse, pour déterminer précisément quelles définitions d'ensembles pouvaient être autorisées. Aujourd'hui, pour les chercheurs en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), " théorie des ensembles " signifie usuellement théorie axiomatique des ensembles. Toutefois, cette théorie, aux multiples variantes, se présente généralement comme une extension de la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois...) des prédicats. Elle traite d'un langage-objet, permettant de parler des ensembles. Ceux-ci ne sont donc traités qu'indirectement par la théorie axiomatique, au travers du langage-objet. La théorie axiomatique des ensembles ne peut de ce fait être située au début des mathématiques, même si toutes les notions mathématiques peuvent être formalisées dans son cadre.

En revanche, il est utile d'étudier à un stade (Un stade (du grec ancien στ?διον stadion, du verbe ?στημι istêmi, « se tenir droit et ferme ») est un équipement sportif.) précoce des mathématiques une théorie naïve des ensembles, pour apprendre à les manipuler, car ils interviennent à peu près dans tous les domaines des mathématiques. On peut d'ailleurs dire que le langage de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) constitue un esperanto des mathématiques. De plus, une bonne compréhension de la théorie naïve est importante comme première approche de la théorie axiomatique.

Une théorie naïve des ensembles n'est pas contradictoire si elle précise correctement les ensembles qu'elle s'autorise à prendre en considération. Elle peut le faire au moyen de définitions, qui sont des axiomes implicites, étant ainsi comparable aux exposés élémentaires de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...).

Elle peut aussi expliciter systématiquement ses axiomes, comme le livre de Paul Halmos : Naive Set Theory. Il expose en fait une théorie axiomatique s'appuyant sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle peut néanmoins être qualifiée de naïve, dans la mesure où elle utilise le langage ordinaire, et où elle n'aborde pas les questions d'indépendance, ni de consistance, du système d'axiomes.

Organisation (Une organisation est) de la théorie

La théorie naïve des ensembles s'organise de la façon suivante :

Notion d'ensemble

  • Ensemble, élément et appartenance
  • Égalité de deux ensembles
  • Paires et singletons
  • Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un ensemble en extension
  • Définition d'un ensemble en compréhension

Sous-ensembles

  • Ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.)
  • Ensemble universel
  • Inclusion. Sous-ensembles et sur-ensembles
  • Inclusion large et inclusion stricte. Sous-ensembles propres
  • Ensemble des parties

Opérations sur les ensembles

  • Réunion
  • Intersection
  • Différence. Compléments absolu et relatif
  • Différence symétrique

Couple et produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire à...)

  • Notion de couple
  • Produit cartésien de deux ensembles. Carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...) cartésien
  • n-uplets. Produit cartésien généralisé. Puissances cartésiennes
  • Somme disjointe de deux ensembles

Correspondances et Relations

  • Notion de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.)
  • Propriétés des correspondances. Notion de fonction
  • Relations binaires
  • Relations ternaires. Lois de composition

Première approche des cardinaux

  • Relation binaire (Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est élément de l’ensemble ... » en théorie des...) d'équipotence (En théorie des ensembles, deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce qu'on note E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux...)
  • Notion de cardinal

Ces articles présentent la théorie naïve. Nous définissons d'abord les ensembles de manière informelle et nous donnons ensuite quelques propriétés. Les liens dans ces articles vers certains axiomes ne servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) pas à justifier chaque énoncé, mais plutôt à souligner le parallèle qui peut être établi entre les théories naïve et formelle. Pour la signification des symboles logiques utilisés dans les énoncés en notation symbolique, on peut se référer à l'article Calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les...).

Paradoxes et conséquences

La découverte de paradoxes dans la théorie de Georg Cantor provoqua au début du XXème siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une...) une grave crise des mathématiques. On distingue habituellement les paradoxes logiques et les paradoxes sémantiques. Les deux exemples suivants illustrent les deux catégories.

Le paradoxe de Russell, découvert en 1901 par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une...) Bertrand Russell, résulte de la considération des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.

On pose M l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Formellement, A est un élément de M si et seulement si A n'est pas un élément de lui-même.

Faisons l'hypothèse que M se contient lui-même, autrement dit que M est un élément de M. Cela est contradictoire avec la définition de M. On en déduit que M ne se contient pas lui-même. Mais dans ce cas, M est un ensemble qui n'est pas élément de lui-même et devrait à ce titre faire partie de M. Ainsi naît le paradoxe.

Le paradoxe de Berry résulte de la considération des entiers naturels définissables en moins de quinze mots français.

Soit B cet ensemble. Il est fini, car les séquences de quinze mots français sont en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini. Soit a le plus grand élément de B. Soit b l'entier succédant à a. Il n'appartient donc pas à B. Pourtant b peut être défini en quatorze mots: "le successeur du plus grand entier naturel définissable en moins de quinze mots français". D'où la contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

Les paradoxes montrent que la théorie des ensembles au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) de Cantor est une théorie contradictoire. La racine du problème vient de ce que nous avons accepté que n'importe quelle propriété puisse être utilisée pour construire les ensembles. Or certaines de ces propriétés (et c'est précisément le cas dans les deux paradoxes précédents) génèrent des boucles autoréférentielles instables (autrement dit des "cercles vicieux") et doivent donc être exclues.

La théorie axiomatique des ensembles pose des restrictions sur les types d'ensembles dont la construction est autorisée et évite ainsi les paradoxes connus.

La contrepartie de l'élimination des paradoxes est un développement beaucoup plus difficile, qui nécessite de bien distinguer le langage des ensembles proprement dit (le langage-objet) et le langage permettant de parler de ce langage-objet (la métalangue). Le paradoxe de Berry, qui résulte de la confusion entre ces deux langages, est ainsi évité. De même, afin d'éviter le paradoxe de Russel, il n'est pas admis de définir un ensemble en compréhension à partir de n'importe quelle propriété sans aucune restriction.

La théorie naïve des ensembles évite aussi les paradoxes si elle précise au cas par cas les ensembles qu'elle s'autorise à considérer. Elle présente alors l'inconvénient de nécessiter un très grand nombre d'axiomes, potentiellement infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas...).

Dans les domaines mathématiques qui semblent nécessiter malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) un " ensemble de tous les ensembles " (comme la théorie des catégories), on peut parfois utiliser un ensemble universel suffisamment grand pour que toutes les mathématiques usuelles puissent être construites ( voir l'article " sous-ensemble " ).

Cependant, nous pouvons recourir à une théorie des ensembles autorisant les classes. Dans ces théories, il existe une classe de tous les ensembles, ainsi qu'une classe de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Comme ces classes ne sont pas des ensembles, les paradoxes tels que celui de Russell sont évités.

Un autre recours consiste à utiliser une axiomatique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) de la théorie des ensembles, comme dans les nouveaux fondements (New Foundations) de W. V. Quine (Quine désigne le fait d'avoir une ligne dans ce même jeu.), qui permettent de définir un ensemble de tous les ensembles tout en évitant le paradoxe de Russell d'une autre manière. Le problème est résolu d'une autre façon, mais cela donne rarement une différence finale avec la théorie classique.

Page générée en 0.008 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique