Équation (mathématiques élémentaires)
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

Une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) est une question, une égalité entre deux quantités algébriques. Cette égalité contient des inconnues. Résoudre l'équation, c'est trouver les valeurs des inconnues qui rendent vraie l'égalité.

En voici des exemples :

  • a / 5 = 8, on cherche a
  • 2b + 3 = 7, on cherche b
  • − 5 = c + c2
  • etc.

L'inconnue (ou les inconnues s'il y en a plusieurs) peuvent s'appeler comme on le souhaite, il est préférable de choisir un nom facile à retenir vu la chose désignée, par exemple :

  • Appeler c le côté d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...)
  • Appeler p le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du...) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...), F une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...)
  • Appeler n un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) quelconque

Les inconnues peuvent être des fonctions ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) autre objet mathématique :

  • Une équation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument....) est une équation dont l'inconnue est une fonction ; par exemple, trouver les fonctions f vérifiant pour tout a et b réels on a f(a+b) = f(a) \times f(b)
  • Une équation différentielle contient des dérivées, comme trouver les fonctions vérifiant pour tout x réel f'(x) = 2f(x) + sin(x)

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des nombres utilisés n'est pas nécessairement ?, il peut être étendu à ? ou limité à ?, voire concerner des objets non numériques comme des transformations du plan ou des objets algébriques abstraits.

Résolution des équations

Les équations se résolvent en respectant quelques règles de bon sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...), qu'on peut interpréter comme déjà données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant...) dans ses Éléments, les notions communes. Note : il s'agit d'une interprétation car Euclide ne traite pas d'équation (elles lui sont postérieures), il s'agit d'une application de ces notions communes aux équations modernes. D'ailleurs les deux dernières mises en italiques ne sont pas dans ses Éléments, elles sont ici parce qu'elles sont dans le même style que les autres.

  1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entr'elles.
    Donc si a=b et si b=c alors a=c, c'est la transitivité de l'égalité
  2. Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.
    Ce qui veut dire qu'on a le droit d'ajouter des quantités égales de chaque côté d'une égalité
  3. Si à des grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.
    C'est la même chose que ci-dessus mais pour la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul...)
  4. Si à des grandeurs égales, on multiplie des grandeurs égales, les produits seront égaux.
    Il faut prendre garde à ne pas multiplier par zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) sous peine de vite écrire n'importe quoi
  5. Si à des grandeurs égales, on divise des grandeurs égales, les quotients seront égaux.
    Il faut prendre garde à ne pas diviser par zéro, et donc étudier les valeurs du quotient en conséquence

En fait, ces transformations sont des fonctions qui ne changent pas les solutions de l'équation. En d'autres termes, les solutions de l'équation initiale et celles de l'équation après utilisation d'une notion commune sont les mêmes. Ce n'est pas le cas de toutes les fonctions, la fonction carré (La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions...) en est le premier exemple rencontré.

Enfin, toutes les manipulations algébriques ou numériques habituelles sont autorisées dans chacun des membres de l'équation (factorisation, développement, réduction...).

Résolution d'équations particulières

  • Une équation du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est une équation qui se ramène à une équation du type ax + b = 0
  • Une équation du second degré se ramène à ax2 + bx + c = 0
  • Plus généralement une équation polynomiale à anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 ou P(x) = 0 avec P un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de...)
  • Une équation différentielle fait intervenir une fonction inconnue f et ses dérivées en x, par exemple f''(x) − f(x) = 3
  • Une équation fonctionnelle fait intervenir une fonction inconnue f et ses variables, mais en la composant avec des opérations, par exemple f(a \times b) + f(a) + f(b) = f(a) \times f(b)
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