Algèbre d'un groupe fini - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, l' algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Une algèbre d'un groupe fini est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) d'un groupe fini, d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) des éléments de la base est obtenue par la multiplication des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A-algèbre L, où...), elle dispose de toute une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) dont le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'Artin-Wedderburn est le pilier (Un pilier est un organe architectural sur lequel se concentrent de façon ponctuelle les...).

Cette approche apporte un nouvel angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, la formule de réciprocité de Frobenius, le théorème d'Artin ou par exemple celui de Brauer.

Introduction

Nature de la démarche

L'objectif est l'étude des représentations d'un groupe fini G sous un angle particulier. Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), une unique représentation est étudiée, la représentation régulière. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de départ est linéarisé, c’est-à-dire qu'il est identifié à l'espace vectoriel sur le corps K de la représentation, le groupe devenant la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...) de l'espace. Le morphisme de groupe de G dans le groupe linéaire de l'espace vectoriel est prolongé par linéarité. On obtient une structure d'algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie...) sur un corps commutatif, noté K[G] (pour les notations, voir l'article polynôme en plusieurs indéterminées). Avec les caractères, cette approche est l'un des deux piliers de la théorie des représentations.

Le théorème de Maschke démontre que si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K, l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) est semi-simple. Cette structure, objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) d'une vaste théorie, permet la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) de résultats variés grâce à ses nombreux théorèmes. L'un des plus importants est sans doute celui d'Artin-Wedderburn, il indique que, si le corps est algébriquement clos, ou si le polynôme Xg - 1 est scindé, l'algèbre est isomorphe à une somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe...) d'algèbres des endomorphismes sur des K-espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finis. Ici g désigne l'ordre du groupe.

L'algèbre d'un groupe opère sur toutes les représentations, il suffit de prolonger le morphisme de groupe par linéarité. On obtient une structure de module où l'anneau K[G] opère sur l'espace vectoriel de la représentation. Une telle structure se nomme G-module. Il existe une équivalence stricte entre la notion de G-module et celle de représentation de G.

Applications

L'essentiel des premiers résultats de la théorie des représentations est une conséquence directes des propriétés générales des algèbres semi-simples. On peut démontrer le caractère fini du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de représentations irréductibles, ou l'égalité entre l'ordre du groupe et la somme des carrés des dimensions des représentations irréductibles. Il est vrai que ces propriétés se démontrent souvent facilement à l'aide des caractères, sans l'adjonction d'une théorie riche mais parfois complexe. En revanche, certains de ces résultats se démontrent de manière plus aisée avec une approche par les algèbres semi-simples, c'est le cas du critère de réciprocité de Frobenius.

Il existe des éléments propres aux algèbres qui sont indispensables à la théorie des représentations. Le centre de l'algèbre K[G] est naturellement une extension abélienne commutative du corps K. Il est possible d'utiliser la notion d'entier algébrique. Cette remarque permet d'introduire une arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), qui s'avère incoutournable. Elle est utilisée dans cet article pour démontrer que toute représentation irréductible possède un degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) divisant l'ordre du groupe.

Dans le cas où g est un multiple de la caractéristique du groupe, la propriété fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) des caractères, à savoir l'aspect orthonormal des caractères irréductibles disparait. L'algèbre du groupe perd aussi sa semi-simplicité. En revanche la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.) semi-simples et particulièrement le concept de radical de Jacobson permet d'élucider la nature des représentations.

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