Algorithme espérance-maximisation - Définition

Introduction

L'algorithme espérance-maximisation (en anglais Expectation-maximisation algorithm, souvent abrégé EM), proposé par Dempster et al. (1977), est une classe d'algorithmes qui permettent de trouver le maximum de vraisemblance des paramètres de modèles probabilistes lorsque le modèle dépend de variables latentes non observables.

Usage

On utilise souvent l'algorithme d'Espérance-maximisation pour la classification de données, l'apprentissage automatique, ou la vision artificielle. On peut également citer son utilisation en imagerie médicale dans le cadre de la reconstruction tomographique.

L'algorithme d'espérance-maximisation comporte :

• une étape d'évaluation de l'espérance (E), où l'on calcule l'espérance de la vraisemblance en tenant compte des dernières variables observées,

• une étape de maximisation (M), où l'on estime le maximum de vraisemblance des paramètres en maximisant la vraisemblance trouvée à l'étape E.

On utilise ensuite les paramètres trouvés en M comme point de départ d'une nouvelle phase d'évaluation de l'espérance, et l'on itère ainsi.

Pour résoudre le problème d'apprentissage des modèles de Markov cachés (HMM), c’est-à-dire la détermination des paramètres du modèle markovien, on utilise l'algorithme de Baum-Welch.

Exemple détaillé : application en classification automatique

Une des applications phares d'EM est l'estimation des paramètres d'une densité mélange en classification automatique dans le cadre des modèles de mélanges gaussiens. Dans ce problème, on considère qu'un échantillon de , ie caractérisé par p variables continues, est en réalité issu de g différents groupes. En considérant que chacun de ces groupes G_k suit une loi f de paramètre θ_k, et dont les proportions sont données par un vecteur . En notant le paramètre du mélange, la fonction de densité que suit l'échantillon est donnée par

et donc, la log-vraisemblance du paramètre Φ est donnée par

La maximisation de cette fonction selon Φ est très complexe. Par exemple, si on souhaite déterminer les paramètres correspondant à 2 groupes suivant une loi normale dans un espace de dimension 3 (ce qui est peu), on doit optimiser une fonction non linéaire de !!!

Parallèlement, si on connaissait les groupes auxquels appartient chacun des individus, alors le problème serait un problème d'estimation tout à fait simple et très classique.

La force de l'algorithme EM est justement de s'appuyer sur ces données pour réaliser l'estimation. En notant z_ik la grandeur qui vaut 1 si l'individu x_i appartient au groupe G_k et 0 sinon, la log-vraisemblance des données complétée s'écrit

On obtient alors rapidement

En notant t_ik la quantité donnée par , on peut séparer l'algorithme EM en deux étapes, qu'on appelle classiquement, dans le cas des modèles de mélanges, l'étape Estimation et l'étape Maximisation. Ces deux étapes sont itérées jusqu'à la convergence.

• Etape E : calcul de t_ik par la règle d'inversion de Bayes :

• Etape M : détermination de Φ maximisant

L'avantage de cette méthode est qu'on peut séparer le problème en g problèmes élémentaires qui sont, en général relativement simples. Dans tous les cas, les proportions optimales sont données par

L'estimation des θ dépend par ailleurs de la fonction de probabilité f choisie. Dans le cas normal, il s'agit des moyennes μ_k et des matrices de variance-covariance Σ_k. Les estimateurs optimaux sont alors donnés par

Avec M' la matrice transposée de M et en supposant que les μ_k sont des vecteurs colonnes.