Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini - Définition
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Introduction
En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie de l'analyse harmonique, l'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini correspond au cas particulier où le groupe est le groupe additif d'un espace vectoriel fini.
Ce contexte s'inscrit dans celui de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Les résultats s'expriment un peu différemment car l'espace vectoriel possède des propriétés fortes, non seulement il est de dimension finie, mais son corps est nécessairement fini. Ils s'appliquent immédiatement à un corps fini car un corps fini est un espace vectoriel sur lui-même et sur son corps premier.
La théorie des codes et la cryptographie utilise largement ce cadre, par exemple pour l'étude du code dual ou l'analyse des fonctions booléennes.
Dualité de Pontryagin
Isomorphisme fondamental
Dans cet article V désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps fini Fq de cardinal q et de corps premier Fp où p est un nombre premier. Le symbole
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- L'application U, de V dans son dual, définie par l'égalité suivante, est un isomorphisme de groupe.
En effet, U est clairement un morphisme à valeur dans le dual de V. Montrons que l'application est injective. Soit x un élément non nul de V, il existe un élément h de V tel que < x | h > est non nul. Par linéarité sur y, l'image de l'application de V dans Fq qui à y associe < x | y > est surjective. On en déduit que Ux est un caractère non trivial, et le noyau de U est réduit à l'élément nul ce qui montre l'injectivité de U, l'égalité entre les ordres du groupe (V, +) et son dual montre la surjectivité de U et donc son caractère bijectif.
L'isomorphisme n'est pas canonique, il dépend en effet du choix de la forme bilinéaire et du caractère. Il permet néanmoins d'identifier l'algèbre du groupe V avec l'algèbre de son dual. Dans cet article, l'algèbre du groupe est noté C[V].
Le dual de V est ici celui du groupe (V, +) et non celui l'espace dual de l'algèbre linéaire.
Orthogonalité relativement à la dualité de Pontryagin
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- Soit S un sous-ensemble de V, l'orthogonal de S relativement à la dualité de Pontryagin associé à (χ0, < | >) est l'ensemble noté ici S° défini par :
On remarque que l'orthogonal relativement à la dualité de Pontryagin ne correspond pas à l'orthogonal de la forme bilinéaire. En effet, le noyau de χ0 n'est pas nécessairement réduit au vecteur nul.
Soit W un sous-groupe de V, les propriétés suivantes sont vérifiées :
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- W° est un sous-groupe de (V, +).
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- La restriction de l'isomorphisme U à W° est un isomorphisme sur l'orthogonal (au sens du groupe dual) de W.
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- Si la forme bilinéaire < | >) est symétrique, alors W°° est égal à W.
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- W° est un sous-groupe de (V, +).
En effet, W° est non vide car il contient le vecteur nul, si w1° et w2° sont deux éléments de W° alors leur différence est manifestement élément de W°, ce qui démontre la proposition.
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- La restriction de l'isomorphisme U à W° est un isomorphisme sur l'orthogonal (au sens du groupe dual) de W.
Soit U' la restriction de U à W°, par définition de U' l'image est bien incluse dans l'orthogonal de W.
L'application U' est injective car U l'est. Soit ζ un élément du dual de W, comme U est un isomorphisme, il existe un antécédent x de ζ par U. Comme ζ est un élément du dual de W, si w est un élément de W, alors χ0(< x
