Angle
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Angles orientés dans le plan

Si le plan est orienté, alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils « tournent ».

(\vec{AB},\vec{AC}) est un angle orienté.

Par convention, on oriente le plan dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) dit « trigonométrique », c'est-à-dire dans le sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x =...) des aiguilles d'une montre (ou « sens anti-horaire »). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), donc son signe ; ainsi :

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = - (\widehat{\vec{v},\vec{u}})
Angles orientés : l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) du plan permet de donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité en alpha et alpha-2π

Les angles sont définis à un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à 2π près (« à deux pi près »). Par exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :

\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

ou bien

\alpha \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]

Cette dernière notation se lit : « alpha est congru à pi sur deux modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo...) deux pi ».

On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), le fait de choisir la « petite » ou la « grande » portion de plan importe peu, puisque α ≡ α -  2π (cf. illustration ci-dessus).

Angle géométrique

Un angle géométrique est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et...) pouvant être représenté par un secteur angulaire. On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée par rapport au nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) (angle donné par une boussole)…

\widehat{BAC} est un angle géométrique.

On a par ailleurs :

\widehat{BAC} = \widehat{CAB}

On confond fréquemment « mesure de l'angle » et « angle ». Ainsi par exemple un angle « plat » est appelé abusivement angle « égal » à 180.

Cet abus est appliqué largement et volontairement dans la suite de cet article.

D'autre part un angle droit par exemple, peut être représenté par plusieurs secteurs angulaires différents, mais comme ils sont tous « superposables », ils représentent tous le même angle. En mathématiques on parle de « classe d'équivalence ».

Ce problème se pose aussi lorsqu'on essaie de distinguer « fraction » et « rationnel ».

Angles dans l'espace

Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter le plan, on choisit un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base (\vec{i},\vec{j}) dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal \vec{i}\wedge\vec{j}.

orientation d'un plan par un vecteur normal

Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.

Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).

Pour définir l'angle entre deux droites quelconques de l'espace, on considère l'angle que font leurs vecteurs directeurs (dont le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...) est égal au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre...) de ces vecteurs unitaires), ou encore l'angle planaire (Les planaires sont des vers plats libres nageurs ou rampants. Des espèces vivent en mer, d'autres en eau douce, jusque dans les sols très humides.) que fait une des deux droites avec une quelconque parallèle à l'autre qui la coupe. Cet angle est défini modulo les mêmes choix d'orientation évoqués ci-dessus.

On définit également les angles solides : on prend un point (Graphie) (parfois appelé « point d'observation ») et une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) dans l'espace (la « surface observée »), l'angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.) est la proportion de l'espace délimitée par le cône ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est...) fait 4π sr.

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