Application (mathématiques) - Définition et Explications

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Introduction

Diagramme représentatif d'une application entre deux ensembles.

En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but). Le terme est concurrencé par celui de fonction, bien que ce dernier désigne parfois plus spécifiquement les applications entre ensembles de nombres ou englobe au contraire plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.

Une application est donc un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) issu de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...), défini par son graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) et associé aux notions d'image et d'antécédent. Elle peut être injective ou surjective selon l'unicité ou l'existence d'un antécédent pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée. La conjonction de ces deux propriétés définit une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...), qui admet alors une application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui...). Les applications peuvent aussi être composées ou restreintes à un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de leur ensemble de départ.

En dehors du contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) de l'analyse, le terme est spécifié entre autres en géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement...), en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...) et dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des systèmes dynamiques. Il est parfois remplacé par celui d'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) ou de morphisme, voire de flèche, notamment en théorie des catégories (La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations...).

Fonction et application

La notion de fonction en tant que correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) entre deux types d'objet est relativement ancienne. Mais le terme n'apparait qu'à la fin du XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de...) de Leibniz en 1694, il s'agit alors de fonction associée à une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) géométrique : Leibniz dit ainsi que l'abscisse, l'ordonnée ou le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) d'une courbe en un point (Graphie) M est une fonction du point M. Dans la même époque, Newton parle de fluente pour des quantités dépendant d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) qu'il appelle le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) (tout en précisant que le rôle joué par le temps, peut l'être par une autre quantité). La notation sous la forme f ne s'est pas mise en place tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) de suite. Jean Bernoulli propose d'appeler X la fonction de x, Leibniz invente une notation permettant de travailler sur plusieurs fonctions différentes : \overline x | \underline1 et \overline x | \underline 2 sont ainsi deux fonctions dépendant de x. La notation fx apparait chez Euler en 1734. Les fonctions sont alors toujours à valeurs numériques (réelles ou complexes) et possèdent en outre des propriétés restrictives (liées à une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) algébrique, continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) eulérienne, développable en série entière...).

Parallèlement se développe, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), la notion d'application pour des correspondances ponctuelles.

Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de faire correspondre les deux notions en parlant de

  • relation ou graphe fonctionnel : (E,F,G) où E et F sont deux ensembles non vides et où G est un sous-ensemble non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de E x F vérifiant en outre, pour tous couples (x,y) et (x’,y’) de G, si x = x’ alors y = y’. (i.e. chaque élément de E possède au plus une image) ;
  • application pour un graphe fonctionnel dans lequel tout élément de E possède exactement une image.

S'appuyant sur cet avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un...), les mathématiques modernes des années 1970 distinguent alors deux objets différents

  • la fonction : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède au plus une image. L'ensemble des éléments de E possédant une image est alors appelé domaine de définition de la fonction
  • l'application  : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule

En pratique, le fait qu'il suffise de réduire l'ensemble de départ d'une fonction à son ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l'...) pour la transformer en application rend peu utile ce distinguo. Celui-ci n'a d'ailleurs jamais été adopté par la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) dans son ensemble, qui continue à utiliser ces deux termes dans leur sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) historique, le terme fonction étant utilisé comme synonyme du terme application dans le cas particulier où l'ensemble d'arrivée est \R ou \mathbb C (l'ensemble de départ étant systématiquement pris égal au domaine de définition).

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