Coefficient de restitution - Définition

Introduction

Le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton ». Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Valeurs possibles

Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible, et figurerait une collision qui collerait les deux corps entre eux au lieu de les faire rebondir.

Collision dans une dimension

On a :
avec v = vitesse finale du système, u = vitesse initiale du système, e = coefficient de restitution.

Obtenir un coefficient de restitution

On peut notamment obtenir le coefficient de restitution par deux moyen:

Autrement dit le rapport entre la vitesse restituée Vr et la vitesse initiale Vi, mais aussi par:

La racine du rapport entre la hauteur d'un rebond h_n et la hauteur du rebond précédent h_{n − 1}

Collision élastique

Si la collision est élastique, , et donc
L'énergie cinétique est alors conservée.

Exemple: Un corps A de masse M_A avançant rectilignement à une vitesse u, percute un corps B de masse M_B au repos. La collision est élastique, donc e = 1. Soit v_A, et v_B les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement:

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives):

On obtient alors les relations:

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'entièreté de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si M_A = M_B.

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos, mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussions de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous.

Application: Rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum après n rebonds : : Avec e coefficient de restitution de la collision, h₀ hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

La vitesse atteinte par un corps après une chute d'une hauteur h_n est (pour plus d'informations voir Chute libre:

En considerant que le mouvement est conservé, la vitesse restituée du rebond n sera égale à la vitesse de la fin de la chute du rebond (n+1), donc:

Et (toujours d'après la formule de la chute libre):

D’où:

h_n Est donc une suite géométrique de premier terme h₀ et de raison e², ayant par conséquent pour terme général:

 

Temps après le n rebond et avant le n + 1 rebond: Avec g accélération de la pesanteur.

Pour démontrer cela il suffit de s'intéresser au mouvement plans d'un corps projeté verticalement avec une vitesse initiale V₀ = V_n (Là encore, voir Chute libre (physique))
L'accélération est égale à g (accélération de la pesanteur dû à la gravité)

Donc:

Et l'altitude z est finalement égal à:

Au début d'un rebond l'altitude est nulle, donc z₀ = 0. Nous cherchons t tel que z=0, ce qui revient alors à résoudre:


Ce qui fais deux solution, t=0, car le corps a une altitude nulle au début du rebond, et:


Pour le énieme rebond, la vitesse initiale est égale à la vitesse en fin de chute et peut donc s'écrire:
D’où:



Et finalement, grâce à la formule générale de h_n trouvée lors de la dernière démonstration:

Nous retrouvons alors bien:

 

Temps total de rebond :
A l'aide d'une suite géométrique, on trouve finalement: avec t₀ temps avant le premier rebond.

Temps de rebondissement T = donc
et
comme la raison r de cette suite géométrique vaut e, le coefficient de restitution:

Donc et

 

Remarque: Le nombre de rebonds est infini mais T est fini.