Effet d'échelle - Définition

Introduction

L'effet d'échelle (physique) traite des conséquences physiques venant de la modification de la dimension d'un corps. La modification est une homothétie : les proportions sont conservées. L'effet d'échelle s'applique aux produits fabriqués par l'homme mais également au monde vivant.

Loi des carrés et des cubes

En anglais, Square-Cube Law. La longueur varie en L, la surface en L², le volume en L³. Quand on double le dimension d'un corps :

• sa surface est multipliée par 2² = 4; la surface augmente deux fois plus vite que la longueur.
• son volume est multiplié par 2³ = 8; le volume augmente deux fois plus vite que la surface.

à densité constante, sa masse est également multipliée par 8.

• Application dans le domaine de la dynamique. On considère les efforts liés au mouvement (par exemple le battement des ailes d'un oiseau). À fréquence de battement égale, les contraintes d'inertie = 1/2 m V² sont liées à la vitesse au carré, donc à la longueur au carré, et à la masse (longueur au cube).

. quand on double la dimension, l'inertie est multipliée par 2⁵ = 32.

• Application dans le domaine de la statique. Le moment de flexion d'une poutre, sous l'effet de son propre poids, varie avec la portée L (la distance entre appuis) :

Moment fléchissant Mt = P . L / 8, avec P = la masse de la poutre

La flexion amène des contraintes de traction et de compression qui dépendent de la section de la poutre :

contrainte = Mt / h (hauteur de la poutre)

Pour une poutre de section carrée dont la hauteur est égale au dixième de la longueur, on aura :

P = volume × densité = longueur × section × densité = L x (0,1L x 0,1L) x densité = 0,01 L³ × densité

contrainte = 0,01 L³ × L × densité / 8 / 0,1 L = densité × L⁴ / 80

Si on double la longueur de la poutre, la contrainte est multipliée par 2⁴ = 16.

Génie civil, bâtiments et sciences de la terre

Habitations

Un pavillon isolé présente beaucoup plus de surface d'échange rapportée à son volume qu'un gros immeuble. Par exemple :

• une petite maison individuelle de 70 m² habitable (dimensions 10 par 7, hauteur 2,5 m) a une surface totale de façade et de toiture (à 45 °) de 185 m².
• un immeuble regroupant 8 fois cette surface sur 4 niveaux, dimensions 48 x 12 x 10 m, aura 1 780 m² de surface développée pour 32 appartements, soit 55 m² de surface d'échange par appartement en moyenne, soit 3 fois moins.
• un appartement de cet immeuble, s'il a des voisins sur les côtés, au-dessus et dessous, peut avoir seulement 12 m de façade, soit 12 x 2,5 = 30 m² de surface d'échange, ce qui fait 6 fois moins.

Franchissement de portée

Comme vu plus haut, si on double la longueur d'une poutre, la contrainte de traction/compression dans le matériau est multipliée par 16.

• Portées en pierre travaillant en flexion (dolmens, linteaux) : le poids propre des blocs de pierre et l'effet d'échelle limitent l'utilisation de la pierre comme matériau de franchissement de portée. La pierre résiste bien en compression, mais beaucoup moins bien en traction (à chiffrer). À partir de xx m de portée, une poutre en pierre se rompt sous son propre poids.
• Il a fallu l'invention de la voûte (qui fait travailler le matériau en compression et non plus en flexion) pour augmenter les longueurs de portée et autoriser la construction de ponts en pierre au lieu de bois.
• Grandes portées : le principe de la voûte surbaissée (le pont Anji en Chine, 580 ans après J.-C. ; principe appliqué en Europe 800 ans plus tard) a permis d'augmenter la portée, au prix d'une augmentation des contraintes de compression dans la pierre et de très fortes poussées latérales aux appuis. La limite du principe de la voûte est celle de la tenue en compression du matériau et de la capacité de résistance des rives où s'appuie la voûte.
• Très grandes portées. Le principe de la poutre pleine est exclu, elle ne supporterait même pas son propre poids. On réduit le niveau de contrainte dans le système en séparant et en écartant au maximum les partie tendues et comprimées (structure en treillis, ponts à haubans). La réduction du poids propre (tablier en acier au lieu de béton, câbles en acier haute résistance) est un impératif.

Grands bâtiments en pierre

On ne peut augmenter indéfiniment la hauteur d'un édifice en pierre. Il y a une limite, celle où la pierre située à la base de la construction s'écrase sous le poids propre du bâtiment. Le travail d'allègement des parties hautes des cathédrales répond à cette exigence. Le projet "académique" d'une tour de 300 mètres en pierre qui était proposé à la place de la tour métallique de Gustave Eiffel aurait posé de très sérieux problèmes de faisabilité, pour le bâtiment lui-même, sa tenue au vent et aussi pour ses fondations en bordure de Seine. Le plus haut bâtiment en pierre serait l'Obélisque de Washington, 169 m de hauteur, achevée en 1885.

Génie civil & géologie

Des effets d'échelle ont été observés dans les interactions sol-structures. Ainsi, dans des conduits kartiques rectiligne, le coefficient de dispersion est sujet à un effet d’échelle, jusqu’à une certaine distance au-delà duquel s'applique le processus classique fickien de dispersion, caractérisé par un coefficient de dispersion constant.